Giải Bài 6.23 trang 14 SBT Toán 9

Lời giải

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm

Xét phương trình $x^2 + 4x + m = 0$ (hệ số $a = 1 \ne 0$).

Phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ khi và chỉ khi
$$\Delta = 4^2 - 4\cdot 1\cdot m = 16 - 4m \ge 0 \iff m \le 4.$$

Áp dụng định lí Viète

Khi đó theo định lí Viète:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -4, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} = m.$$

Biến đổi biểu thức theo tổng và tích hai nghiệm

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (-4)^2 - 2m = 16 - 2m.$$

Theo giả thiết $x_1^2 + x_2^2 = 10$, ta có:
$$16 - 2m = 10 \iff 2m = 6 \iff m = 3.$$

Đối chiếu điều kiện

Giá trị $m = 3$ thoả mãn điều kiện $m \le 4$ nên nhận.

Kiểm tra lại: Với $m = 3$, phương trình là $x^2 + 4x + 3 = 0$, có hai nghiệm $x_1 = -1,\ x_2 = -3$. Khi đó $x_1^2 + x_2^2 = 1 + 9 = 10$ (đúng).

Vậy $m = 3$.

Đáp số