Giải Bài 6.24 trang 14 SBT Toán 9

Lời giải

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là $a$ (m) và $b$ (m) với $a > 0,\ b > 0$.

Vì bác Long dùng 48 mét lưới thép để rào xung quanh nên chu vi mảnh vườn bằng 48 m, do đó:
$$2(a+b) = 48 \Rightarrow a + b = 24.$$

a) Diện tích mảnh vườn là 108 m$^2$ nên:
$$a \cdot b = 108.$$

Vậy $a$ và $b$ là hai nghiệm của phương trình:
$$x^2 - 24x + 108 = 0.$$

Ta có $\Delta = (-24)^2 - 4\cdot 108 = 576 - 432 = 144 > 0$, nên $\sqrt{\Delta} = 12$.

Phương trình có hai nghiệm:
$$x_1 = \frac{24 + 12}{2} = 18, \qquad x_2 = \frac{24 - 12}{2} = 6.$$

Hai nghiệm đều dương và thỏa mãn điều kiện. Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên chiều dài là 18 m, chiều rộng là 6 m.

*Thử lại:* $18 + 6 = 24$ (chu vi $2\cdot 24 = 48$ m, đúng); $18 \cdot 6 = 108$ (m$^2$, đúng).

b) Gọi diện tích mảnh vườn là $S$ (m$^2$). Khi đó $a$ và $b$ là hai số dương có tổng $a + b = 24$ và tích $a\cdot b = S$, nên chúng là hai nghiệm của phương trình:
$$x^2 - 24x + S = 0.$$

Để mảnh vườn tồn tại (phương trình có nghiệm) thì:
$$\Delta = 24^2 - 4S \ge 0 \Rightarrow 576 - 4S \ge 0 \Rightarrow S \le 144.$$

Vậy $S \le 144$, dấu bằng xảy ra khi $\Delta = 0$, tức là $a = b = \dfrac{24}{2} = 12$ (m) — mảnh vườn là hình vuông cạnh 12 m.

Do đó diện tích lớn nhất bác Long có thể rào được là 144 m$^2$.

*Thử lại:* với hình vuông cạnh 12 m thì chu vi $= 4\cdot 12 = 48$ m (đúng) và diện tích $= 12^2 = 144$ m$^2$.

Đáp số