Giải Bài 6.29 trang 17 SBT Toán 9

Lời giải

Gọi ẩn và điều kiện:

Gọi thời gian Hùng làm một mình xong nhà là $x$ (giờ) và thời gian Nam làm một mình xong nhà là $y$ (giờ), với $x>0,\ y>0$.

Vì Hùng làm nhanh hơn Nam nên $x<y$.

Lập hệ phương trình:

Đổi thời gian hai người cùng làm: $2\dfrac{2}{5}=\dfrac{12}{5}$ (giờ).

- Tổng thời gian làm một mình của hai anh em là 10 giờ, nên:
$$x+y=10.$$

- Trong 1 giờ Hùng làm được $\dfrac{1}{x}$ công việc, Nam làm được $\dfrac{1}{y}$ công việc. Khi cùng làm, mỗi giờ hai người làm được $\dfrac{1}{\frac{12}{5}}=\dfrac{5}{12}$ công việc, nên:
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{12}.$$

Ta có hệ:
$$\begin{cases} x+y=10 \\[4pt] \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{12} \end{cases}$$

Giải hệ:

Từ phương trình thứ hai: $\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{5}{12}$.

Thay $x+y=10$ vào, ta được: $\dfrac{10}{xy}=\dfrac{5}{12}$, suy ra $xy=\dfrac{10\cdot 12}{5}=24$.

Vậy $x$ và $y$ là hai nghiệm của phương trình:
$$t^2-10t+24=0.$$

Giải: $\Delta=(-10)^2-4\cdot 24=100-96=4>0$, $\sqrt{\Delta}=2$.
$$t_1=\dfrac{10+2}{2}=6,\qquad t_2=\dfrac{10-2}{2}=4.$$

Vậy $\{x;y\}=\{4;6\}$. Do Hùng làm nhanh hơn Nam nên $x<y$, suy ra:
$$x=4\ (\text{giờ}),\qquad y=6\ (\text{giờ}).$$

(Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện $x>0,\ y>0$.)

Kiểm tra lại: $x+y=4+6=10$ (đúng); $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{5}{12}$, tức thời gian cùng làm là $\dfrac{12}{5}=2\dfrac{2}{5}$ giờ (đúng).

Kết luận: Hùng làm một mình mất $4$ giờ, Nam làm một mình mất $6$ giờ.

Đáp số