Giải Câu hỏi trang 12 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại định lí về điểm cực trị: Giả sử hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a;x_0)$ và $(x_0;b)$. Khi đó $x_0$ là điểm cực trị của $f(x)$ khi và chỉ khi $f'(x)$ đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$.

Xét trường hợp $f'(x)$ không đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$. Khi đó chỉ có thể xảy ra một trong hai khả năng sau trên một khoảng chứa $x_0$ (bỏ qua điểm $x_0$):

a) $f'(x)$ giữ nguyên dấu dương: $f'(x) > 0$ cả khi $x < x_0$ lẫn khi $x > x_0$.

Theo tính chất tính đơn điệu, hàm số $f(x)$ đồng biến trên cả khoảng chứa $x_0$. Do đó, với $x$ ở gần $x_0$:
- Khi $x < x_0$ thì $f(x) < f(x_0)$;
- Khi $x > x_0$ thì $f(x) > f(x_0)$.

Giá trị $f(x_0)$ không phải là giá trị lớn nhất cũng không phải giá trị nhỏ nhất so với lân cận, nên $x_0$ không phải là điểm cực trị.

b) $f'(x)$ giữ nguyên dấu âm: $f'(x) < 0$ cả khi $x < x_0$ lẫn khi $x > x_0$.

Tương tự, hàm số $f(x)$ nghịch biến trên cả khoảng chứa $x_0$. Do đó với $x$ ở gần $x_0$:
- Khi $x < x_0$ thì $f(x) > f(x_0)$;
- Khi $x > x_0$ thì $f(x) < f(x_0)$.

Giá trị $f(x_0)$ cũng không lớn nhất, không nhỏ nhất so với lân cận, nên $x_0$ không phải là điểm cực trị.

Kết luận: Trong cả hai trường hợp, hàm số $f(x)$ luôn đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên khoảng chứa $x_0$, tức là giá trị của hàm số biến thiên theo một chiều duy nhất khi $x$ đi qua $x_0$. Vì vậy $f(x_0)$ không thể là giá trị cực đại hay cực tiểu, nên $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số $f(x)$. $\;\blacksquare$

Đáp số