Giải Hoạt động 2 trang 43 SGK Toán 12
Đề bài
Hình thành khái niệm phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi $\vec{u} = (a; b; c) \neq \vec{0}$ và xuất phát từ điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ (H.5.26).
a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?
b) Giả sử tại thời điểm $t$ ($t > 0$) tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí $M(x; y; z)$. Tính $x$, $y$, $z$ theo $a$, $b$, $c$, $x_0$, $y_0$, $z_0$ và $t$.
Mô tả hình bằng lời
Hình 5.26: Hệ trục tọa độ $Oxyz$ với một đường thẳng đi lên trong không gian. Trên đường thẳng có điểm $A$ (điểm xuất phát) và điểm $M$ (vị trí sau); vectơ chỉ phương $\vec{u}$ hướng từ $A$ đến $M$.
Lời giải
a) Vì vật thể chuyển động với vectơ vận tốc $\vec{u} = (a; b; c)$ không đổi nên quỹ đạo của nó là một đường thẳng.
Đường thẳng đó:
- Đi qua điểm xuất phát $A(x_0; y_0; z_0)$;
- Nhận vectơ vận tốc $\vec{u} = (a; b; c)$ làm vectơ chỉ phương (vì tại mọi thời điểm vận tốc luôn cùng phương với đường đi).
b) Sau thời gian $t$ (với $t > 0$), vì vận tốc không đổi nên độ dời của vật thể là:
$$\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u} = (ta; tb; tc).$$
Mặt khác, với $A(x_0; y_0; z_0)$ và $M(x; y; z)$ ta có:
$$\overrightarrow{AM} = (x - x_0;\ y - y_0;\ z - z_0).$$
So sánh hai biểu thức của $\overrightarrow{AM}$ theo từng tọa độ:
$$\begin{cases} x - x_0 = ta \\ y - y_0 = tb \\ z - z_0 = tc \end{cases}$$
Suy ra:
$$\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$$
Kiểm tra: Tại $t = 0$ ta được $M \equiv A(x_0; y_0; z_0)$ — đúng là điểm xuất phát; khi $t$ tăng, $M$ dịch chuyển theo hướng $\vec{u}$. Đây chính là dạng phương trình tham số của đường thẳng.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.