Giải Hoạt động 4 trang 45 SGK Toán 12

Lời giải

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $A_1A_2$

Đường thẳng $A_1A_2$ đi qua hai điểm phân biệt $A_1$ và $A_2$ nên nó nhận vectơ $\overrightarrow{A_1A_2}$ làm một vectơ chỉ phương.

Ta có:
$$\overrightarrow{A_1A_2} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1;\ z_2 - z_1).$$

Vì $A_1 \ne A_2$ nên $\overrightarrow{A_1A_2} \ne \vec{0}$, do đó đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $A_1A_2$.

b) Phương trình đường thẳng $A_1A_2$

Đường thẳng $A_1A_2$ đi qua điểm $A_1(x_1; y_1; z_1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{A_1A_2} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1;\ z_2 - z_1)$.

Do đó phương trình tham số của đường thẳng $A_1A_2$ là:
$$\begin{cases} x = x_1 + (x_2 - x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 - y_1)t \\ z = z_1 + (z_2 - z_1)t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$

Trong trường hợp $x_2 - x_1$, $y_2 - y_1$, $z_2 - z_1$ đều khác $0$, ta có phương trình chính tắc của đường thẳng $A_1A_2$:
$$\dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{z - z_1}{z_2 - z_1}.$$

Đáp số