Giải Bài 5.12 trang 49 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Tìm vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P): x + 3y - z - 1 = 0$ nên $\Delta$ nhận vectơ pháp tuyến của $(P)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 3; -1)$, do đó $\Delta$ có vectơ chỉ phương
$$\vec{u} = \vec{n} = (1; 3; -1).$$

Bước 2. Viết phương trình tham số.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2; -1; 4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 3; -1)$ nên có phương trình tham số:
$$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 3t \\ z = 4 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$

Bước 3. Viết phương trình chính tắc.

Vì các tọa độ của $\vec{u}$ đều khác $0$ nên $\Delta$ có phương trình chính tắc:
$$\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{-1}.$$

Kiểm tra: Thay $A(2; -1; 4)$ vào phương trình tham số với $t = 0$ được đúng điểm $A$; vectơ chỉ phương $(1; 3; -1)$ đúng bằng vectơ pháp tuyến của $(P)$ nên $\Delta \perp (P)$. Vậy kết quả phù hợp.

Đáp số