Giải Bài 5.13 trang 49 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Tìm vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm $A(2; 3; -1)$ và $B(1; -2; 4)$ nên nhận vectơ $\overrightarrow{AB}$ làm một vectơ chỉ phương:
$$\overrightarrow{AB} = (1-2;\ -2-3;\ 4-(-1)) = (-1;\ -5;\ 5).$$

a) Phương trình tham số.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(2; 3; -1)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (-1; -5; 5)$ nên có phương trình tham số:
$$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 3 - 5t \\ z = -1 + 5t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$

b) Phương trình chính tắc.

Vì cả ba tọa độ của vectơ chỉ phương đều khác $0$, đường thẳng $\Delta$ có phương trình chính tắc:
$$\frac{x-2}{-1} = \frac{y-3}{-5} = \frac{z+1}{5}.$$

Bước 3. Kiểm tra lại.

- Với $t = 0$: $(x; y; z) = (2; 3; -1) = A$ ✓.
- Với $t = 1$: $(x; y; z) = (2-1;\ 3-5;\ -1+5) = (1; -2; 4) = B$ ✓.

Vậy đường thẳng đi qua đúng hai điểm $A$ và $B$.

Đáp số