Giải Bài 5.14 trang 49 SGK Toán 12

Lời giải

Xác định yếu tố của mỗi đường thẳng

Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(1;3;2)$ và có vrecto chỉ phương $\vec{u_1}=(2;-1;3)$.

Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(8;-2;2)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u_2}=(-1;1;2)$.

a) Chứng minh $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau

Viết $\Delta_2$ dưới dạng tham số (đặt tham số là $s$):
$$\Delta_2:\ x=8-s,\quad y=-2+s,\quad z=2+2s.$$

Tọa độ giao điểm (nếu có) là nghiệm của hệ:
$$\begin{cases} 1+2t=8-s \\ 3-t=-2+s \\ 2+3t=2+2s \end{cases}$$

Từ phương trình thứ ba: $3t=2s \Rightarrow s=\dfrac{3t}{2}$.

Từ phương trình thứ hai: $s=5-t$.

Suy ra $\dfrac{3t}{2}=5-t \Rightarrow 3t=10-2t \Rightarrow 5t=10 \Rightarrow t=2$, do đó $s=3$.

Thử vào phương trình thứ nhất: $1+2\cdot 2=5$ và $8-3=5$ (thỏa mãn).

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $t=2,\ s=3$, nên $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có đúng một điểm chung. Thay $t=2$ vào $\Delta_1$:
$$x=1+4=5,\quad y=3-2=1,\quad z=2+6=8.$$

Giao điểm là $A(5;1;8)$. Mặt khác $\vec{u_1}=(2;-1;3)$ và $\vec{u_2}=(-1;1;2)$ không cùng phương (vì $\dfrac{2}{-1}\neq\dfrac{-1}{1}$). Do đó hai đường thẳng cắt nhau tại $A(5;1;8)$ (đpcm).

b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$

Vì $(P)$ chứa cả $\Delta_1$ và $\Delta_2$ nên $(P)$ nhận hai vecto chỉ phương $\vec{u_1},\ \vec{u_2}$ làm cặp vecto chỉ phương. Một vecto pháp tuyến của $(P)$ là:
$$\vec{n}=[\vec{u_1},\vec{u_2}]=\left(\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix};\ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}\right).$$

Tính từng thành phần:
- $(-1)\cdot 2-3\cdot 1=-5$
- $3\cdot(-1)-2\cdot 2=-7$
- $2\cdot 1-(-1)\cdot(-1)=1$

Do đó $\vec{n}=(-5;-7;1)$, chọn $\vec{n}=(5;7;-1)$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M_1(1;3;2)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(5;7;-1)$:
$$5(x-1)+7(y-3)-1\cdot(z-2)=0$$
$$\Leftrightarrow 5x+7y-z-24=0.$$

Kiểm tra: Với $M_2(8;-2;2)$: $5\cdot 8+7\cdot(-2)-2-24=40-14-2-24=0$ (đúng). Với giao điểm $A(5;1;8)$: $25+7-8-24=0$ (đúng).

Vậy $(P):\ 5x+7y-z-24=0$.

Đáp số