Giải Bài 5.15 trang 49 SGK Toán 12

Lời giải

## a) Chứng minh $\Delta_1 \parallel \Delta_2$

*(Phương trình $\Delta_2$ hiểu đúng là $\dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z}{2}$.)*

Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(1;\,3;\,2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (3;\,1;\,2)$.

Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(1;\,-1;\,0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_2} = (3;\,1;\,2)$.

Vì $\vec{u_1} = \vec{u_2}$ nên hai đường thẳng cùng phương.

Thay tọa độ điểm $M_1(1;\,3;\,2)$ vào phương trình $\Delta_2$:

$$\frac{1-1}{3} = 0, \qquad \frac{3+1}{1} = 4, \qquad \frac{2}{2} = 1.$$

Vì $0 \neq 4$ nên $M_1 \notin \Delta_2$.

Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cùng phương và không có điểm chung, do đó $\Delta_1 \parallel \Delta_2$ (điều phải chứng minh).

## b) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $\Delta_1$ và $\Delta_2$

Vì $\Delta_1 \parallel \Delta_2$ nên có duy nhất một mặt phẳng $(P)$ chứa cả hai đường thẳng.

Ta có $\overrightarrow{M_1M_2} = (1-1;\,-1-3;\,0-2) = (0;\,-4;\,-2)$.

Mặt phẳng $(P)$ nhận hai vectơ $\vec{u} = (3;\,1;\,2)$ và $\overrightarrow{M_1M_2} = (0;\,-4;\,-2)$ làm cặp vectơ chỉ phương, nên có vectơ pháp tuyến:

$$\vec{n} = \left[\vec{u},\, \overrightarrow{M_1M_2}\right] = \bigl(1\cdot(-2) - 2\cdot(-4);\; 2\cdot 0 - 3\cdot(-2);\; 3\cdot(-4) - 1\cdot 0\bigr) = (6;\,6;\,-12).$$

Chọn $\vec{n} = (1;\,1;\,-2)$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M_1(1;\,3;\,2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1;\,1;\,-2)$ nên có phương trình:

$$1(x-1) + 1(y-3) - 2(z-2) = 0$$

$$\Leftrightarrow x + y - 2z = 0.$$

Thử lại: $M_1(1;\,3;\,2)$: $1 + 3 - 2\cdot 2 = 0$ (thỏa mãn); $M_2(1;\,-1;\,0)$: $1 - 1 - 0 = 0$ (thỏa mãn).

Vậy $(P): x + y - 2z = 0$.

Đáp số