Giải Bài 5.16 trang 49 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích đề bài.

Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(-1;1;3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_1}=(1;0;2)$.

Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(-1;2;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_2}=(2;1;3)$.

a) Xét hai vectơ chỉ phương.

Hai vectơ $\vec{u_1}=(1;0;2)$ và $\vec{u_2}=(2;1;3)$ không cùng phương, vì $\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{0}{1}$.

Do đó $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

b) Xét hệ phương trình tìm giao điểm.

Giả sử $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có điểm chung. Khi đó tồn tại $t,s$ thỏa mãn:
$$\begin{cases} -1+t = -1+2s \\ 1 = 2+s \\ 3+2t = 1+3s \end{cases}$$

Từ phương trình thứ hai: $1=2+s \Rightarrow s=-1$.

Từ phương trình thứ nhất: $t=2s=2\cdot(-1)=-2$.

Thay $t=-2,\ s=-1$ vào phương trình thứ ba để kiểm tra:
- Vế trái: $3+2\cdot(-2)=3-4=-1$.
- Vế phải: $1+3\cdot(-1)=1-3=-2$.

Vì $-1\ne -2$ nên phương trình thứ ba không được thỏa mãn. Hệ vô nghiệm, tức là $\Delta_1$ và $\Delta_2$ không có điểm chung.

c) Kết luận.

Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ có hai vectơ chỉ phương không cùng phương và không có điểm chung, nên chúng chéo nhau.

Kiểm tra lại (bằng tích hỗn tạp).

Ta có $\vec{M_1M_2}=(0;1;-2)$ và
$$[\vec{u_1},\vec{u_2}]=\left(\begin{vmatrix}0&2\\1&3\end{vmatrix};\ \begin{vmatrix}2&1\\3&2\end{vmatrix};\ \begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}\right)=(-2;1;1).$$

Suy ra $[\vec{u_1},\vec{u_2}]\cdot\vec{M_1M_2}=(-2)\cdot0+1\cdot1+1\cdot(-2)=-1\ne 0$.

Ba vectơ không đồng phẳng nên hai đường thẳng chéo nhau — kết quả phù hợp.

Đáp số