Giải Bài 5.18 trang 50 SGK Toán 12

Lời giải

Thiết lập quỹ đạo viên đạn.

Viên đạn xuất phát từ $A(1;3;4)$, bay với vận tốc không đổi có vectơ vận tốc (mỗi giây) $\vec{v}=(2;1;6)$ trong $3$ giây. Sau $t$ giây (với $0\le t\le 3$), đầu đạn ở vị trí
$$P(t)=A+t\,\vec v.$$
Do đó quỹ đạo là đoạn thẳng có phương trình tham số
$$\begin{cases} x=1+2t\\ y=3+t\\ z=4+6t \end{cases}\qquad (0\le t\le 3).$$

Viên đạn trúng một mục tiêu khi và chỉ khi tồn tại một giá trị $t\in[0;3]$ để $P(t)$ trùng với mục tiêu đó.

a) Mục tiêu $M\left(7;\dfrac{7}{2};21\right)$.

Thay tọa độ $M$ vào phương trình tham số:

- Từ $x$: $1+2t=7 \Rightarrow t=3$.
- Từ $y$: $3+t=\dfrac{7}{2} \Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$.

Hai giá trị $t$ không bằng nhau nên không có giá trị $t$ nào thỏa mãn đồng thời các phương trình. Vậy $M$ không nằm trên đường thẳng chứa quỹ đạo, nên viên đạn không trúng mục tiêu $M$.

b) Mục tiêu $N(-3;1;-8)$.

Thay tọa độ $N$ vào phương trình tham số:

- Từ $x$: $1+2t=-3 \Rightarrow t=-2$.
- Từ $y$: $3+t=1 \Rightarrow t=-2$.
- Từ $z$: $4+6t=-8 \Rightarrow t=-2$.

Cả ba phương trình cho cùng $t=-2$, nên $N$ nằm trên đường thẳng chứa quỹ đạo. Tuy nhiên $t=-2<0$, tức $N$ ở phía sau điểm bắn $A$ (ngược với hướng bay của viên đạn), không thuộc khoảng $0\le t\le 3$. Vậy viên đạn không trúng mục tiêu $N$.

Kết luận: Trong cả hai tình huống, viên đạn đều không bắn trúng mục tiêu.

Đáp số