Giải Bài 5.19 trang 50 SGK Toán 12

Lời giải

Xác định toạ độ các điểm.

Cột thẳng đứng cao 6 m, chân tại gốc $O$, nằm trên tia $Oz$ nên đỉnh cột là
$$A = (0;\,0;\,6).$$

Bóng của đỉnh cột là điểm $A'$ nằm trên mặt đất (mặt phẳng $Oxy$), cách $O$ một khoảng $OA' = 3$ m, theo hướng $S60^\circ E$. Hướng này tạo với tia $Ox$ (hướng nam) góc $60^\circ$ và tạo với tia $Oy$ (hướng đông) góc $30^\circ$, nên:
$$x_{A'} = 3\cos 60^\circ = 3\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{2},\qquad y_{A'} = 3\cos 30^\circ = 3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}.$$

Kiểm tra: $x_{A'}^2 + y_{A'}^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{27}{4} = 9 = 3^2$ (đúng bằng $OA'^2$). Vậy
$$A' = \left(\frac{3}{2};\,\frac{3\sqrt{3}}{2};\,0\right).$$

Viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng.

Tia nắng đi qua đỉnh cột $A$ và tới bóng của nó là $A'$, nên đường thẳng cần tìm đi qua $A$ và $A'$. Vectơ chỉ phương:
$$\vec{AA'} = \left(\frac{3}{2};\,\frac{3\sqrt{3}}{2};\,-6\right).$$

Nhân với $\dfrac{2}{3}$ để gọn hơn, ta được vectơ chỉ phương
$$\vec{u} = (1;\,\sqrt{3};\,-4).$$

Đường thẳng đi qua $A(0;0;6)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1;\sqrt{3};-4)$ có phương trình tham số:
$$\begin{cases} x = t \\ y = \sqrt{3}\,t \\ z = 6 - 4t \end{cases}\quad (t \in \mathbb{R}).$$

Kiểm tra: Với $t = 0$ được $A(0;0;6)$ (đỉnh cột); với $t = \dfrac{3}{2}$ được $\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3\sqrt{3}}{2};0\right) = A'$ (bóng của đỉnh cột). Đúng.

Đáp số