Giải Câu hỏi trang 51 SGK Toán 12

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ và xác định toạ độ các điểm

Gắn hệ trục $Oxyz$ như Hình 5.33, mặt sàn nhà là mặt phẳng $(Oxy)$. Vì $A,\,C$ nằm trên trục $y$, $B$ nằm phía trục $x$ và tam giác $ABC$ đều cạnh $4$ m nên:

- $A$ và $C$ đối xứng qua gốc $O$ trên trục $y$, với $AC=4$ nên $A(0;2;0),\ C(0;-2;0)$.
- $B(x;0;0)$ trên trục $x$ với $BA=4$: $\sqrt{x^2+2^2}=4 \Rightarrow x^2=12 \Rightarrow x=2\sqrt{3}$. Vậy $B\,(2\sqrt{3};0;0)$.

Ba cây cột thẳng đứng (song song trục $z$) có độ cao $7$ m, $6$ m, $5$ m nên đỉnh ba cột là:
$$A'(0;2;7),\quad B'(2\sqrt{3};0;6),\quad C'(0;-2;5).$$

Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mái nhà $(A'B'C')$

$$\vec{A'B'}=(2\sqrt{3};-2;-1),\qquad \vec{A'C'}=(0;-4;-2).$$

Một vectơ pháp tuyến của $(A'B'C')$ là:
$$\vec{n}=\vec{A'B'}\wedge\vec{A'C'}=\big((-2)(-2)-(-1)(-4)\,;\,(-1)\cdot0-(2\sqrt3)(-2)\,;\,(2\sqrt3)(-4)-(-2)\cdot0\big).$$
$$\vec{n}=(0;\,4\sqrt{3};\,-8\sqrt{3}).$$

Chia cho $4\sqrt3$, chọn $\vec{n}=(0;1;-2)$.

Tính góc giữa mái nhà và mặt sàn

Mặt sàn $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{k}=(0;0;1)$. Gọi $\varphi$ là góc nghiêng giữa mái nhà và mặt sàn, ta có:
$$\cos\varphi=\frac{\left|\vec{n}\cdot\vec{k}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot\left|\vec{k}\right|}=\frac{\left|0+0+(-2)\cdot1\right|}{\sqrt{0^2+1^2+(-2)^2}\cdot 1}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt5}{5}\approx 0{,}8944.$$

Suy ra:
$$\varphi\approx 26{,}57^{\circ}\ (\approx 26^{\circ}34').$$

Kết luận: Mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc khoảng $26{,}57^{\circ}$.

Đáp số