Giải Hoạt động 1 trang 51 SGK Toán 12

Lời giải

a) Mối quan hệ giữa các góc $(\Delta, \Delta')$ và $(\vec{u}, \vec{u'})$

Góc giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn $0^\circ \le (\Delta, \Delta') \le 90^\circ$, trong khi góc giữa hai vectơ có thể nhận giá trị $0^\circ \le (\vec{u}, \vec{u'}) \le 180^\circ$. Xét hai trường hợp trong Hình 5.34:

- Trường hợp a: Hai vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{u'}$ tạo với nhau một góc nhọn, tức $(\vec{u}, \vec{u'}) \le 90^\circ$. Khi đó góc giữa hai đường thẳng chính bằng góc giữa hai vectơ:
$$(\Delta, \Delta') = (\vec{u}, \vec{u'}).$$

- Trường hợp b: Hai vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{u'}$ tạo với nhau một góc tù, tức $(\vec{u}, \vec{u'}) > 90^\circ$. Khi đó góc giữa hai đường thẳng bằng góc bù với góc giữa hai vectơ:
$$(\Delta, \Delta') = 180^\circ - (\vec{u}, \vec{u'}).$$

Tóm lại:
$$(\Delta, \Delta') = \begin{cases} (\vec{u}, \vec{u'}) & \text{nếu } (\vec{u}, \vec{u'}) \le 90^\circ, \\ 180^\circ - (\vec{u}, \vec{u'}) & \text{nếu } (\vec{u}, \vec{u'}) > 90^\circ. \end{cases}$$

b) Nhận xét về $\cos(\Delta, \Delta')$ và $\left|\cos(\vec{u}, \vec{u'})\right|$

Vì $0^\circ \le (\Delta, \Delta') \le 90^\circ$ nên $\cos(\Delta, \Delta') \ge 0$.

- Nếu $(\Delta, \Delta') = (\vec{u}, \vec{u'})$ thì $\cos(\Delta, \Delta') = \cos(\vec{u}, \vec{u'}) \ge 0$, do đó $\cos(\Delta, \Delta') = \left|\cos(\vec{u}, \vec{u'})\right|$.
- Nếu $(\Delta, \Delta') = 180^\circ - (\vec{u}, \vec{u'})$ thì
$$\cos(\Delta, \Delta') = \cos\big(180^\circ - (\vec{u}, \vec{u'})\big) = -\cos(\vec{u}, \vec{u'}).$$
Lúc này $\cos(\vec{u}, \vec{u'}) < 0$ nên $-\cos(\vec{u}, \vec{u'}) = \left|\cos(\vec{u}, \vec{u'})\right|$.

Cả hai trường hợp đều dẫn tới cùng một kết luận:
$$\boxed{\cos(\Delta, \Delta') = \left|\cos(\vec{u}, \vec{u'})\right|}.$$

Kết hợp với công thức tích vô hướng $\cos(\vec{u}, \vec{u'}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{u'}}{|\vec{u}|\,|\vec{u'}|}$, ta được công thức tính góc giữa hai đường thẳng:
$$\cos(\Delta, \Delta') = \frac{\left|\vec{u} \cdot \vec{u'}\right|}{|\vec{u}|\,|\vec{u'}|} = \frac{|aa' + bb' + cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\,\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}.$$

Đáp số