Giải Luyện tập 1 trang 52 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Xác định vectơ chỉ phương.

Đường thẳng $\Delta:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{-2}$ có vectơ chỉ phương
$$\vec{u}=(1;2;-2).$$

Trục $Oz$ có vectơ chỉ phương là $\vec{k}=(0;0;1).$

Bước 2. Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.

Gọi $\varphi$ là góc giữa trục $Oz$ và đường thẳng $\Delta$. Ta có
$$\cos\varphi=\dfrac{\left|\vec{u}\cdot\vec{k}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{k}\right|}.$$

Bước 3. Tính các đại lượng.

$$\vec{u}\cdot\vec{k}=1\cdot0+2\cdot0+(-2)\cdot1=-2.$$
$$\left|\vec{u}\right|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3,\qquad \left|\vec{k}\right|=1.$$

Suy ra
$$\cos\varphi=\dfrac{\left|-2\right|}{3\cdot1}=\dfrac{2}{3}.$$

Bước 4. Kết luận.

$$\varphi=\arccos\dfrac{2}{3}\approx 48^\circ11'.$$

Kiểm tra lại: $\cos 48^\circ11'\approx 0{,}667\approx\dfrac{2}{3}$ (đúng). Vì $\cos\varphi=\dfrac{2}{3}>0$ nên $0^\circ<\varphi<90^\circ$, phù hợp với định nghĩa góc giữa hai đường thẳng.

Vậy góc giữa trục $Oz$ và đường thẳng $\Delta$ là $\varphi=\arccos\dfrac{2}{3}\approx 48^\circ11'.$

Đáp số