Giải Hoạt động 2 trang 52 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích hình 5.35. Đường thẳng $\Delta'$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nên $\Delta'$ chính là đường thẳng có giá song song (hoặc trùng) với vectơ pháp tuyến $\vec{n}$; còn $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}$. Gọi $\varphi = (\Delta, (P))$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$, và $\psi = (\Delta, \Delta')$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$.

a) Mối quan hệ giữa $(\Delta, (P))$ và $(\Delta, \Delta')$.

Vì $\Delta' \perp (P)$ nên $\Delta'$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Xét mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau $\Delta$ và $\Delta'$: trong mặt phẳng này, $\Delta'$ vuông góc với $(P)$, còn hình chiếu của $\Delta$ lên $(P)$ tạo với $\Delta$ đúng góc $\varphi = (\Delta,(P))$.

Do $\Delta'$ và hình chiếu của $\Delta$ trên $(P)$ vuông góc với nhau, hai góc $\psi = (\Delta,\Delta')$ và $\varphi = (\Delta,(P))$ là hai góc phụ nhau. Vậy:
$$ (\Delta, (P)) = 90^\circ - (\Delta, \Delta'). $$

b) Mối quan hệ giữa $\sin(\Delta,(P))$ và $\left|\cos(\vec{u},\vec{n})\right|$.

Góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ (có các vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u}$ và $\vec{n}$) luôn không tù, nên theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng:
$$ \cos(\Delta, \Delta') = \left|\cos(\vec{u}, \vec{n})\right|. $$

Từ kết quả câu a), $(\Delta,(P)) = 90^\circ - (\Delta,\Delta')$, suy ra:
$$ \sin(\Delta,(P)) = \sin\big(90^\circ - (\Delta,\Delta')\big) = \cos(\Delta,\Delta'). $$

Kết hợp hai điều trên:
$$ \sin(\Delta,(P)) = \left|\cos(\vec{u}, \vec{n})\right| = \frac{\left|a A + b B + c C\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\,\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. $$

Nhận xét: sin của góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ bằng trị tuyệt đối của côsin góc giữa vectơ chỉ phương $\vec{u}$ và vectơ pháp tuyến $\vec{n}$. Đây chính là công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Đáp số