Giải Hoạt động 3 trang 53 SGK Toán 12

Lời giải

a) Mối quan hệ giữa các góc

Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với $(P)$ và $(Q)$.

Vì $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$ nên đường thẳng $\Delta$ (có vectơ chỉ phương $\vec{n}$) vuông góc với $(P)$; tương tự $\Delta'$ (có vectơ chỉ phương $\vec{n'}$) vuông góc với $(Q)$.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$:
$$\big((P),(Q)\big) = \big(\Delta,\Delta'\big).$$

b) Côsin của góc giữa hai mặt phẳng

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{n}=(A;B;C)$, đường thẳng $\Delta'$ có vectơ chỉ phương $\vec{n'}=(A';B';C')$.

Côsin của góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta'$ được tính theo côsin góc giữa hai vectơ chỉ phương (lấy giá trị tuyệt đối để góc không vượt quá $90^\circ$):
$$\cos\big(\Delta,\Delta'\big) = \big|\cos\big(\vec{n},\vec{n'}\big)\big| = \frac{\big|\vec{n}\cdot\vec{n'}\big|}{|\vec{n}|\,|\vec{n'}|}.$$

Theo câu a), góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa $\Delta$ và $\Delta'$, nên:
$$\cos\big((P),(Q)\big) = \frac{\big|\vec{n}\cdot\vec{n'}\big|}{|\vec{n}|\,|\vec{n'}|} = \frac{|AA' + BB' + CC'|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot\sqrt{A'^2+B'^2+C'^2}}.$$

Đáp số