Giải Luyện tập 3 trang 53 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng.

Mặt phẳng $(P): x - \sqrt{2}\,y + z - 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến
$$\vec{n_1} = (1;\ -\sqrt{2};\ 1).$$

Mặt phẳng $(Oxz): y = 0$ có vectơ pháp tuyến
$$\vec{n_2} = (0;\ 1;\ 0).$$

Bước 2. Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Oxz)$. Ta có
$$\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}.$$

Bước 3. Tính các đại lượng.

Tích vô hướng:
$$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = 1\cdot 0 + (-\sqrt{2})\cdot 1 + 1\cdot 0 = -\sqrt{2}.$$

Độ dài các vectơ pháp tuyến:
$$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{1+2+1} = \sqrt{4} = 2,$$
$$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1.$$

Bước 4. Kết luận.

$$\cos\varphi = \dfrac{|-\sqrt{2}|}{2\cdot 1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$$

Do đó
$$\varphi = 45^{\circ}.$$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Oxz)$ bằng $45^{\circ}$.

Đáp số