Giải Vận dụng trang 54 SGK Toán 12

Lời giải

Tóm tắt tình huống mở đầu. Mái nhà là hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $8$ m, chiều cao $SO=3$ m ($O$ là tâm đáy). Cần tính góc giữa mặt bên $(SAB)$ và mặt đáy $(ABCD)$.

Bước 1. Xác định góc giữa hai mặt phẳng.

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên:

- $SO\perp(ABCD)$ (đường cao chóp đều),
- $OM\perp AB$ (vì $O$ là tâm hình vuông, $OM$ là đường trung bình song song $AD$, vuông góc $AB$).

Theo định lí ba đường vuông góc, từ $SO\perp(ABCD)$ và $OM\perp AB$ suy ra $SM\perp AB$.

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ cắt nhau theo giao tuyến $AB$; tại $M$ có $SM\perp AB$ và $OM\perp AB$. Vậy góc giữa mặt bên $(SAB)$ và mặt đáy $(ABCD)$ chính là $\widehat{SMO}$.

Bước 2. Tính trong tam giác $SMO$ vuông tại $O$.

$$OM=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\ (\text{m}),\qquad SO=3\ (\text{m}).$$

Tam giác $SMO$ vuông tại $O$ nên:

$$\tan\widehat{SMO}=\frac{SO}{OM}=\frac{3}{4},\qquad SM=\sqrt{SO^{2}+OM^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\ (\text{m}),$$

$$\cos\widehat{SMO}=\frac{OM}{SM}=\frac{4}{5}.$$

Kết luận. Góc giữa mặt bên của mái nhà và mặt đáy là

$$\widehat{SMO}=\arccos\frac{4}{5}\approx 36^{\circ}52'.$$

Đáp số