Giải Bài 5.20 trang 54 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Xác định vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

Đường thẳng $\Delta_1$ có phương trình tham số $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 2 + 3t \end{cases}$, suy ra vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (2;\,-1;\,3)$.

Đường thẳng $\Delta_2$ có phương trình chính tắc $\dfrac{x-2}{-1} = \dfrac{y+1}{1} = \dfrac{z-2}{2}$, suy ra vectơ chỉ phương $\vec{u_2} = (-1;\,1;\,2)$.

Bước 2. Tính góc giữa hai đường thẳng.

Gọi $\varphi$ là góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ ($0° \le \varphi \le 90°$). Ta có:
$$\cos\varphi = \frac{|\vec{u_1}\cdot\vec{u_2}|}{|\vec{u_1}|\cdot|\vec{u_2}|}$$

Tính tích vô hướng:
$$\vec{u_1}\cdot\vec{u_2} = 2\cdot(-1) + (-1)\cdot 1 + 3\cdot 2 = -2 - 1 + 6 = 3$$

Tính độ dài các vectơ:
$$|\vec{u_1}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{14}, \quad |\vec{u_2}| = \sqrt{(-1)^2+1^2+2^2} = \sqrt{6}$$

Suy ra:
$$\cos\varphi = \frac{|3|}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{3}{2\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là:
$$\varphi = \arccos\dfrac{\sqrt{21}}{14} \approx 70°54'$$

Đáp số