Giải Bài 5.21 trang 54 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Xác định vectơ chỉ phương của trục và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Trục $Oz$ có vectơ chỉ phương là $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

Mặt phẳng $(P): x + 2y - z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 2; -1)$.

Bước 2. Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Gọi $\varphi$ là góc giữa trục $Oz$ và mặt phẳng $(P)$. Ta có:
$$\sin\varphi = \frac{|\vec{k} \cdot \vec{n}|}{|\vec{k}| \cdot |\vec{n}|}.$$

Bước 3. Tính các đại lượng.

$$\vec{k} \cdot \vec{n} = 0\cdot 1 + 0\cdot 2 + 1\cdot(-1) = -1,$$
$$|\vec{k}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1,\qquad |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}.$$

Do đó:
$$\sin\varphi = \frac{|-1|}{1\cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt 6} = \frac{\sqrt 6}{6} \approx 0{,}4082.$$

Bước 4. Suy ra số đo góc.

$$\varphi = \arcsin\frac{1}{\sqrt 6} \approx 24^\circ 6'.$$

Kiểm tra lại: $\sin 24^\circ 6' \approx 0{,}408$, khớp với $\dfrac{1}{\sqrt 6}$. Vì $0 \le \varphi \le 90^\circ$ nên kết quả hợp lệ.

Kết luận: Góc giữa trục $Oz$ và mặt phẳng $(P)$ là $\varphi \approx 24^\circ 6'$ (với $\sin\varphi = \dfrac{\sqrt 6}{6}$).

Đáp số