Giải Bài 5.22 trang 54 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Xác định các vectơ đặc trưng.

Đường thẳng $\Delta:\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{3}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;\,2;\,3)$.

Mặt phẳng $(P):x+y+z+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;\,1;\,1)$.

Bước 2. Áp dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Gọi $\varphi$ là góc giữa $\Delta$ và $(P)$. Theo công thức SGK:
$$\sin\varphi=\dfrac{\big|\vec{u}\cdot\vec{n}\big|}{|\vec{u}|\,|\vec{n}|}.$$

Bước 3. Tính toán.

$$\vec{u}\cdot\vec{n}=(-1)\cdot1+2\cdot1+3\cdot1=4.$$
$$|\vec{u}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+3^2}=\sqrt{14},\qquad |\vec{n}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.$$

Do đó:
$$\sin\varphi=\dfrac{|4|}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{4}{\sqrt{42}}\approx0{,}617.$$

Bước 4. Suy ra góc.

$$\varphi=\arcsin\dfrac{4}{\sqrt{42}}\approx 38^{\circ}7'.$$

Kiểm tra: $\sqrt{42}\approx6{,}48$ nên $\dfrac{4}{6{,}48}\approx0{,}617$, thỏa $0\le\sin\varphi\le1$; lấy $\arcsin$ được $\varphi\approx38^{\circ}7'$. Kết quả hợp lí.

Đáp số