Giải Bài 5.24 trang 54 SGK Toán 12

Lời giải

a) Khoảng cách từ điểm $D$ đến đáy bể

Gọi khoảng cách từ các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đến mặt phẳng đáy bể lần lượt là $d_A = 40$ cm, $d_B = 44$ cm, $d_C = 48$ cm và $d_D$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường.

Các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng đáy bể nên khoảng cách từ trung điểm của một đoạn thẳng đến mặt phẳng đáy bằng trung bình cộng các khoảng cách từ hai đầu mút của đoạn thẳng đó đến mặt phẳng đáy. Do đó:

$$d_I = \frac{d_A + d_C}{2} = \frac{40 + 48}{2} = 44 \text{ (cm)};$$

$$d_I = \frac{d_B + d_D}{2} = \frac{44 + d_D}{2}.$$

Suy ra $\dfrac{44 + d_D}{2} = 44$, tức là $d_D = 88 - 44 = 44$ (cm).

Vậy khoảng cách từ điểm $D$ đến đáy bể bằng $44$ cm.

b) Góc nghiêng của đáy bể so với mặt phẳng nằm ngang

Mặt nước luôn nằm ngang, nên góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang bằng góc giữa mặt phẳng đáy bể và mặt phẳng $(ABCD)$.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ gắn với bể (đơn vị: cm): đáy bể nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, các cạnh bên của bể song song với trục $Oz$. Vì $A$, $B$, $C$, $D$ nằm trên bốn cạnh bên của bể và có khoảng cách đến đáy lần lượt là $40$; $44$; $48$; $44$ cm nên ta có thể lấy:

$$A(0;\,0;\,40),\quad B(0;\,100;\,44),\quad C(100;\,100;\,48),\quad D(100;\,0;\,44).$$

Ta có $\overrightarrow{AB} = (0;\,100;\,4)$ và $\overrightarrow{AD} = (100;\,0;\,4)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$ là:

$$\vec{n} = \left[\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD}\right] = (400;\,400;\,-10\,000),$$

hay $\vec{n}$ cùng phương với vectơ $(1;\,1;\,-25)$.

Mặt phẳng đáy bể có vectơ pháp tuyến $\vec{k} = (0;\,0;\,1)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt phẳng đáy bể và mặt phẳng $(ABCD)$. Ta có:

$$\cos\varphi = \frac{\left|\vec{n}\cdot\vec{k}\right|}{\left|\vec{n}\right|\left|\vec{k}\right|} = \frac{25}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 25^2}} = \frac{25}{\sqrt{627}} \approx 0{,}9984.$$

Suy ra $\varphi \approx 3^{\circ}$.

Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc khoảng $3^{\circ}$.

Đáp số