Giải Hoạt động trang 55 SGK Toán 12
Đề bài
Tìm phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(a; b; c)$ bán kính $R$ (H.5.41). Khi đó, một điểm $M(x; y; z)$ thuộc mặt cầu $(S)$ khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn điều kiện gì?
Mô tả hình bằng lời
Hình 5.41: Hệ trục toạ độ $Oxyz$ với các trục $Ox, Oy, Oz$. Một mặt cầu tâm $I$, bán kính $R$; tâm $I$ có toạ độ $(a; b; c)$ (các đoạn $a$ trên trục $x$, $b$ trên trục $y$, $c$ trên trục $z$ được biểu thị bằng nét đứt). Điểm $M(x; y; z)$ nằm trên mặt cầu, đoạn $IM = R$.
Lời giải
Điều kiện để điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S)$:
Theo định nghĩa, mặt cầu $(S)$ tâm $I(a; b; c)$ bán kính $R$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ trong không gian cách tâm $I$ một khoảng không đổi bằng $R$.
Do đó, điểm $M(x; y; z)$ thuộc mặt cầu $(S)$ khi và chỉ khi:
$$IM = R.$$
Mà độ dài đoạn $IM$ được tính theo công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian $Oxyz$:
$$IM = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2}.$$
Vậy điều kiện $IM = R$ trở thành:
$$\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2} = R.$$
Vì $R > 0$, bình phương hai vế (hai vế đều không âm) ta được:
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2.$$
Đây chính là điều kiện cần và đủ để toạ độ điểm $M(x; y; z)$ thoả mãn, tức là phương trình của mặt cầu $(S)$.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.