Giải Luyện tập 2 trang 56 SGK Toán 12

Lời giải

a) Mặt cầu $(S)$ có tâm là gốc toạ độ $O(0;0;0)$ và bán kính $R=1$.

Áp dụng phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$:
$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.$$

Với $a=b=c=0$ và $R=1$, ta được:
$$x^2+y^2+z^2=1.$$

b) Mặt cầu $(S)$ có đường kính $AB$ với $A(1;-1;2)$, $B(2;-3;-1)$.

*Tìm tâm:* Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm của đoạn $AB$:
$$I\left(\frac{1+2}{2};\ \frac{-1+(-3)}{2};\ \frac{2+(-1)}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};\ -2;\ \frac{1}{2}\right).$$

*Tìm bán kính:* Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;\ -3-(-1);\ -1-2)=(1;-2;-3)$, nên
$$AB=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.$$

Bán kính bằng nửa đường kính:
$$R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{14}}{2},\qquad R^2=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}.$$

*Viết phương trình:*
$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+(y+2)^2+\left(z-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{7}{2}.$$

*Kiểm tra:* Thay $A(1;-1;2)$: $\left(1-\frac32\right)^2+(-1+2)^2+\left(2-\frac12\right)^2=\frac14+1+\frac94=\frac{7}{2}$ (đúng). Thay $B(2;-3;-1)$: $\left(\frac12\right)^2+(-1)^2+\left(-\frac32\right)^2=\frac14+1+\frac94=\frac72$ (đúng). Vậy $A$, $B$ đều thuộc $(S)$.

Đáp số