Giải Luyện tập 4 trang 57 SGK Toán 12

Lời giải

Ta đưa phương trình mặt cầu về dạng chính tắc bằng cách so sánh với dạng tổng quát

$$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,$$

khi đó mặt cầu có tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$ (với điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 - d > 0$).

Xác định các hệ số

So sánh $x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 5y + 6z + \dfrac{25}{4} = 0$ với dạng tổng quát:

- $-2a = 4 \Rightarrow a = -2$
- $-2b = -5 \Rightarrow b = \dfrac{5}{2}$
- $-2c = 6 \Rightarrow c = -3$
- $d = \dfrac{25}{4}$

Tìm tâm

Vậy tâm của mặt cầu là $I\left(-2; \dfrac{5}{2}; -3\right)$.

Tìm bán kính

$$R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} = \sqrt{(-2)^2 + \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + (-3)^2 - \dfrac{25}{4}}.$$

Ta có:

$$a^2 + b^2 + c^2 - d = 4 + \dfrac{25}{4} + 9 - \dfrac{25}{4} = 4 + 9 = 13 > 0.$$

Do đó $R = \sqrt{13}$.

Kiểm tra lại: $a^2+b^2+c^2 - d = 4 + \dfrac{25}{4} + 9 - \dfrac{25}{4} = 13$, biểu thức dương nên đây thực sự là một mặt cầu; $R = \sqrt{13} \approx 3{,}61$.

Kết luận: Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left(-2; \dfrac{5}{2}; -3\right)$ và bán kính $R = \sqrt{13}$.

Đáp số