Giải Trải nghiệm trang 59 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại kết quả Luyện tập 5. Coi Trái Đất là một mặt cầu tâm $O$ bán kính $R \approx 6371$ km. Với gốc tọa độ đặt tại tâm $O$, một điểm có vĩ độ $\varphi$ và kinh độ $\lambda$ có tọa độ

$$\big(R\cos\varphi\cos\lambda,\ R\cos\varphi\sin\lambda,\ R\sin\varphi\big).$$

- Điểm $A\,(0^\circ N,\,0^\circ E)$: $\ \varphi=0^\circ,\ \lambda=0^\circ \Rightarrow A=(R;\,0;\,0)$.
- Điểm $B\,(45^\circ N,\,30^\circ E)$: $\ \varphi=45^\circ,\ \lambda=30^\circ$, nên

$$B=\Big(R\cos45^\circ\cos30^\circ;\ R\cos45^\circ\sin30^\circ;\ R\sin45^\circ\Big)=\Big(\tfrac{\sqrt6}{4}R;\ \tfrac{\sqrt2}{4}R;\ \tfrac{\sqrt2}{2}R\Big).$$

Gọi $\theta$ là góc $\widehat{AOB}$. Khi đó

$$\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{R^2}=\dfrac{R\cdot\frac{\sqrt6}{4}R}{R^2}=\dfrac{\sqrt6}{4}\approx 0{,}6124.$$

Suy ra $\theta\approx 52{,}24^\circ\approx 0{,}9118$ (rad).

Độ dài cung lớn (khoảng cách trên mặt Trái Đất) nối $A$ và $B$ là độ dài cung tròn bán kính $R$ chắn góc ở tâm $\theta$:

$$\ell=R\,\theta\approx 6371\times 0{,}9118\approx 5809\ \text{(km)}.$$

Đo trên Google Maps (Trải nghiệm). Mở Google Maps, nhấn chuột phải vào điểm $0^\circ N,\,0^\circ E$ (ngoài khơi vịnh Ghi-nê), chọn *Đo khoảng cách* rồi nhấp tiếp vào điểm $45^\circ N,\,30^\circ E$ (gần Biển Đen). Google Maps hiển thị khoảng cách khoảng $5800$ km.

So sánh. Giá trị đo trên Google Maps ($\approx 5800$ km) rất sát với giá trị tính được ở Luyện tập 5 ($\approx 5809$ km). Phần chênh lệch nhỏ là do trong tính toán ta coi Trái Đất là mặt cầu hoàn hảo, còn Trái Đất thực tế hơi dẹt (hình elipxôit) và còn kèm sai số khi thao tác đo. Như vậy kết quả tính toán bằng mô hình mặt cầu là đáng tin cậy.

Đáp số