Giải Bài 5.27 trang 60 SGK Toán 12

Lời giải

Gọi $r$ là bán kính của mặt cầu $(S)$. Theo đề bài, $r$ bằng khoảng cách từ tâm $I(0;\,3;\,-1)$ đến mặt phẳng $(P):3x+2y-z=0$.

Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, ta có:

$$r = d\bigl(I,(P)\bigr) = \dfrac{|3\cdot 0+2\cdot 3-(-1)|}{\sqrt{3^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}} = \dfrac{|0+6+1|}{\sqrt{14}} = \dfrac{7}{\sqrt{14}} = \dfrac{\sqrt{14}}{2}.$$

Suy ra $r^{2} = \dfrac{14}{4} = \dfrac{7}{2}$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;\,3;\,-1)$ và bán kính $r = \dfrac{\sqrt{14}}{2}$ nên có phương trình:

$$x^{2}+(y-3)^{2}+(z+1)^{2} = \dfrac{7}{2}.$$

Đáp số