Giải Vận dụng trang 31 SGK Toán 12

Lời giải

Từ ý a), nồng độ chất khử trùng tại thời điểm $t$ (phút) kể từ khi bắt đầu bơm là

$$f(t)=\dfrac{0{,}5t}{t+200}\quad(\text{gam/lít}),\ t\ge 0.$$

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $f(t)=\dfrac{0{,}5t}{t+200}$ trên $[0;+\infty)$.

• Tập xác định: $D=[0;+\infty)$.

• Chiều biến thiên. Ta có
$$f'(t)=\dfrac{0{,}5\,(t+200)-0{,}5t}{(t+200)^2}=\dfrac{100}{(t+200)^2}>0\quad\forall t\ge 0.$$
Vậy hàm số đồng biến trên $[0;+\infty)$: nồng độ tăng theo thời gian.

• Giới hạn và tiệm cận. Vì bậc tử bằng bậc mẫu nên
$$\lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{t\to+\infty}\dfrac{0{,}5t}{t+200}=0{,}5.$$
Đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0{,}5$. (Vì chỉ xét $t\ge 0$ nên không có tiệm cận đứng $t=-200$.)

• Bảng biến thiên.

| $t$ | $0$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $f'(t)$ | | $+$ | |
| $f(t)$ | $0$ | $\nearrow$ | $0{,}5$ |

• Một số điểm của đồ thị:
$$f(0)=0,\quad f(200)=0{,}25,\quad f(600)=0{,}375,\quad f(1800)=0{,}45.$$

• Đồ thị. Đồ thị đi qua gốc $O(0;0)$, luôn đi lên (đồng biến), lồi lên trên (độ dốc giảm dần) và tiến sát nhưng không chạm đường tiệm cận ngang $y=0{,}5$ khi $t$ tăng vô hạn.

```
C (g/l)
0,5 |- - - - - - - - - - - - - - - - (tiệm cận y = 0,5)
| ___________
| ___----
|challenge __--
| _-
| _-
| _-
0 |_-______________________________ t (phút)
0
```

c) Giải thích vì sao nồng độ tăng theo $t$ nhưng không vượt quá $0{,}5$ gam/lít.

Viết lại hàm số:
$$f(t)=\dfrac{0{,}5t}{t+200}=\dfrac{0{,}5(t+200)-100}{t+200}=0{,}5-\dfrac{100}{t+200}.$$

• Tăng theo $t$: khi $t$ tăng thì $t+200$ tăng, nên $\dfrac{100}{t+200}$ giảm, do đó $f(t)=0{,}5-\dfrac{100}{t+200}$ tăng. (Điều này phù hợp với $f'(t)=\dfrac{100}{(t+200)^2}>0$.)

• Không vượt ngưỡng $0{,}5$: với mọi $t\ge 0$ ta luôn có $\dfrac{100}{t+200}>0$, suy ra
$$f(t)=0{,}5-\dfrac{100}{t+200}<0{,}5.$$
Hơn nữa $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}f(t)=0{,}5$, nên nồng độ chỉ tiến dần tới $0{,}5$ gam/lít (giá trị đúng bằng nồng độ chất khử trùng của nước được bơm vào) chứ không bao giờ đạt tới hay vượt quá ngưỡng đó. Đường thẳng $y=0{,}5$ là tiệm cận ngang của đồ thị. $\blacksquare$

Đáp số