Giải Bài 1.23 trang 33 SGK Toán 12

Lời giải

## a) $y = \dfrac{2x^2 - x + 4}{x - 1}$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Chia đa thức, ta viết lại: $y = 2x + 1 + \dfrac{5}{x-1}$.

2. Sự biến thiên

*Đạo hàm:*
$$y' = \dfrac{(4x-1)(x-1) - (2x^2 - x + 4)}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2 - 4x - 3}{(x-1)^2}.$$

$y' = 0 \Leftrightarrow 2x^2 - 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \dfrac{\sqrt{10}}{2}$, tức $x_1 \approx -0{,}58$ và $x_2 \approx 2{,}58$.

*Giới hạn – tiệm cận:*
- $\lim\limits_{x\to 1^-} y = -\infty,\ \lim\limits_{x\to 1^+} y = +\infty \Rightarrow$ tiệm cận đứng $x = 1$.
- $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\big[y-(2x+1)\big] = \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{5}{x-1} = 0 \Rightarrow$ tiệm cận xiên $y = 2x + 1$.
- $\lim\limits_{x\to-\infty} y = -\infty,\ \lim\limits_{x\to+\infty} y = +\infty$.

*Bảng biến thiên (dấu của $y'$):*

| Khoảng | $\left(-\infty;\,1-\tfrac{\sqrt{10}}{2}\right)$ | $\left(1-\tfrac{\sqrt{10}}{2};\,1\right)$ | $\left(1;\,1+\tfrac{\sqrt{10}}{2}\right)$ | $\left(1+\tfrac{\sqrt{10}}{2};\,+\infty\right)$ |
|---|---|---|---|---|
| $y'$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $y$ | ↗ | ↘ | ↘ | ↗ |

Hàm số đồng biến trên $\left(-\infty;\,1-\tfrac{\sqrt{10}}{2}\right)$ và $\left(1+\tfrac{\sqrt{10}}{2};\,+\infty\right)$; nghịch biến trên $\left(1-\tfrac{\sqrt{10}}{2};\,1\right)$ và $\left(1;\,1+\tfrac{\sqrt{10}}{2}\right)$.

*Cực trị:* Tại điểm cực trị, $\dfrac{5}{x-1} = \pm\sqrt{10}$ nên:
- Cực đại tại $x = 1-\tfrac{\sqrt{10}}{2}$, $y_{CĐ} = 3 - 2\sqrt{10} \approx -3{,}32$.
- Cực tiểu tại $x = 1+\tfrac{\sqrt{10}}{2}$, $y_{CT} = 3 + 2\sqrt{10} \approx 9{,}32$.

3. Đồ thị
- Giao với $Oy$: $x=0 \Rightarrow y = -4$, điểm $(0;-4)$.
- Không cắt $Ox$ vì $2x^2 - x + 4 = 0$ có $\Delta = 1 - 32 < 0$ (vô nghiệm).
- Giao điểm hai tiệm cận là $I(1;\,3)$ — tâm đối xứng của đồ thị.

Đồ thị gồm hai nhánh, nhận $x=1$ làm tiệm cận đứng và $y=2x+1$ làm tiệm cận xiên; nhánh trái có điểm cực đại $\approx(-0{,}58;\,-3{,}32)$, nhánh phải có điểm cực tiểu $\approx(2{,}58;\,9{,}32)$.

---

## b) $y = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x + 3}$

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.

Chia đa thức: $y = x - 1 + \dfrac{4}{x+3}$ (chú ý $x^2+2x+1=(x+1)^2$).

2. Sự biến thiên

*Đạo hàm:*
$$y' = \dfrac{(2x+2)(x+3) - (x^2+2x+1)}{(x+3)^2} = \dfrac{x^2 + 6x + 5}{(x+3)^2}.$$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = -5$ hoặc $x = -1$.

*Giới hạn – tiệm cận:*
- $\lim\limits_{x\to -3^-} y = -\infty,\ \lim\limits_{x\to -3^+} y = +\infty \Rightarrow$ tiệm cận đứng $x = -3$.
- $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\big[y-(x-1)\big] = \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{4}{x+3} = 0 \Rightarrow$ tiệm cận xiên $y = x - 1$.
- $\lim\limits_{x\to-\infty} y = -\infty,\ \lim\limits_{x\to+\infty} y = +\infty$.

*Bảng biến thiên (dấu của $y'$):*

| Khoảng | $(-\infty;\,-5)$ | $(-5;\,-3)$ | $(-3;\,-1)$ | $(-1;\,+\infty)$ |
|---|---|---|---|---|
| $y'$ | $+$ | $-$ | $-$ | $+$ |
| $y$ | ↗ | ↘ | ↘ | ↗ |

Hàm số đồng biến trên $(-\infty;-5)$ và $(-1;+\infty)$; nghịch biến trên $(-5;-3)$ và $(-3;-1)$.

*Cực trị:*
- Cực đại tại $x = -5$: $y_{CĐ} = -5 - 1 + \dfrac{4}{-2} = -8$.
- Cực tiểu tại $x = -1$: $y_{CT} = -1 - 1 + \dfrac{4}{2} = 0$.

3. Đồ thị
- Giao với $Oy$: $x=0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{3}$, điểm $\left(0;\,\tfrac{1}{3}\right)$.
- Giao với $Ox$: $y=0 \Leftrightarrow (x+1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = -1$, điểm $(-1;0)$ (đồ thị tiếp xúc trục $Ox$).
- Giao điểm hai tiệm cận là $I(-3;\,-4)$ — tâm đối xứng của đồ thị.

Đồ thị gồm hai nhánh, nhận $x=-3$ làm tiệm cận đứng và $y=x-1$ làm tiệm cận xiên; nhánh trái có điểm cực đại $(-5;-8)$, nhánh phải có điểm cực tiểu $(-1;0)$.

Đáp số