Giải Luyện tập 2 trang 39 SGK Toán 12
Đề bài
Anh An chèo thuyền từ điểm $A$ trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn đến điểm $B$ ở bờ đối diện cách 8 km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm $C$ rồi chạy bộ đến $B$, hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến $B$, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm $D$ nào đó giữa $C$ và $B$ rồi chạy bộ đến $B$. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc chạy bộ là 8 km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được $B$ càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).
Mô tả hình bằng lời
Hình 1.35: Con sông thẳng theo phương dọc (chiều rộng 3 km ngang). Điểm $A$ ở bờ bên trái. Bờ đối diện (bên phải): $C$ là điểm ngay đối diện $A$ (đoạn $AC = 3$ km vuông góc với dòng sông). Từ $C$ đi xuôi theo bờ về phía hạ lưu đến $B$, khoảng cách $CB = 8$ km. $D$ là một điểm nằm trên bờ đối diện giữa $C$ và $B$, với $CD = x$. Anh An chèo thuyền từ $A$ đến $D$ (đường chéo), rồi chạy bộ từ $D$ đến $B$.
Lời giải
Thiết lập hàm số thời gian.
Gọi $D$ là điểm mà anh An chèo thuyền tới trên bờ đối diện, đặt $CD = x$ (km) với $0 \le x \le 8$.
Vì $AC \perp CB$ và $AC = 3$ km nên quãng đường chèo thuyền là:
$$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{x^2 + 9}.$$
Quãng đường chạy bộ là $DB = 8 - x$.
Với vận tốc chèo thuyền $6$ km/h và chạy bộ $8$ km/h, tổng thời gian đi từ $A$ đến $B$ là:
$$T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{6} + \frac{8 - x}{8}, \qquad x \in [0; 8].$$
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $T(x)$ trên $[0; 8]$.
Tính đạo hàm và tìm điểm tới hạn.
$$T'(x) = \frac{1}{6}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{8} = \frac{x}{6\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{8}.$$
Cho $T'(x) = 0$:
$$\frac{x}{6\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{1}{8} \;\Rightarrow\; 8x = 6\sqrt{x^2 + 9} \;\Rightarrow\; 4x = 3\sqrt{x^2 + 9}.$$
Bình phương hai vế (với $x > 0$):
$$16x^2 = 9(x^2 + 9) \;\Rightarrow\; 7x^2 = 81 \;\Rightarrow\; x^2 = \frac{81}{7} \;\Rightarrow\; x = \frac{9}{\sqrt{7}} = \frac{9\sqrt{7}}{7} \approx 3{,}40 \;(\text{km}).$$
Giá trị này thuộc khoảng $(0; 8)$.
So sánh các giá trị.
Tại điểm tới hạn: $\sqrt{x^2 + 9} = \sqrt{\dfrac{81}{7} + 9} = \sqrt{\dfrac{144}{7}} = \dfrac{12}{\sqrt{7}}$, nên
$$T\!\left(\frac{9}{\sqrt7}\right) = \frac{12/\sqrt7}{6} + \frac{8 - 9/\sqrt7}{8} = \frac{2}{\sqrt7} + 1 - \frac{9}{8\sqrt7} = 1 + \frac{16 - 9}{8\sqrt7} = 1 + \frac{7}{8\sqrt7} = 1 + \frac{\sqrt7}{8} \approx 1{,}33 \;(\text{giờ}).$$
Tại hai đầu mút:
$$T(0) = \frac{3}{6} + \frac{8}{8} = 1{,}5 \;(\text{giờ}); \qquad T(8) = \frac{\sqrt{73}}{6} \approx 1{,}42 \;(\text{giờ}).$$
So sánh: $1 + \dfrac{\sqrt7}{8} \approx 1{,}33 < 1{,}42 < 1{,}5$.
Vậy $\min\limits_{[0;8]} T(x) = 1 + \dfrac{\sqrt7}{8} \approx 1{,}33$ giờ, đạt được khi $x = \dfrac{9\sqrt7}{7} \approx 3{,}40$ km.
Kết luận. Anh An nên chèo thuyền tới điểm $D$ nằm giữa $C$ và $B$, cách $C$ khoảng $\dfrac{9\sqrt7}{7} \approx 3{,}4$ km (tức cách $B$ khoảng $8 - 3{,}4 = 4{,}6$ km), rồi chạy bộ tới $B$. Khi đó thời gian ngắn nhất là $1 + \dfrac{\sqrt7}{8} \approx 1{,}33$ giờ (khoảng $1$ giờ $20$ phút).
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.