Giải Vận dụng trang 41 SGK Toán 12

Lời giải

Gọi $x$ là số ti vi bán ra trong một tuần và $p$ là giá bán mỗi chiếc (đơn vị: triệu đồng), $x>0$.

a) Tìm hàm cầu

Ban đầu bán được $1\,000$ chiếc với giá $14$ triệu đồng. Cứ giảm giá $0{,}5$ triệu đồng thì bán thêm $100$ chiếc, tức là khi số lượng tăng thêm $100$ chiếc thì giá giảm $0{,}5$ triệu đồng.

Do đó giá bán là hàm bậc nhất theo $x$ với hệ số góc:
$$k=\dfrac{-0{,}5}{100}=-0{,}005 \text{ (triệu đồng/chiếc).}$$

Hàm cầu đi qua điểm $(1\,000;\,14)$:
$$p=14-0{,}005\,(x-1\,000)=14-0{,}005x+5.$$
$$\boxed{p(x)=19-0{,}005x\quad(\text{triệu đồng}),\ x>0.}$$

Kiểm tra: $x=1\,000\Rightarrow p=14$; $x=1\,100\Rightarrow p=13{,}5$ (giảm đúng $0{,}5$ triệu). ✓

b) Giảm giá bao nhiêu để doanh thu lớn nhất

Doanh thu mỗi tuần:
$$R(x)=x\cdot p(x)=x(19-0{,}005x)=19x-0{,}005x^2\quad(\text{triệu đồng}).$$

Đạo hàm: $R'(x)=19-0{,}01x$.

$R'(x)=0\Leftrightarrow x=1\,900$. Vì $R'(x)>0$ khi $x<1\,900$ và $R'(x)<0$ khi $x>1\,900$ nên $R$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=1\,900$.

Khi đó giá bán: $p=19-0{,}005\cdot 1\,900=9{,}5$ triệu đồng.

Doanh thu lớn nhất: $R(1\,900)=19\cdot1\,900-0{,}005\cdot1\,900^2=18\,050$ (triệu đồng).

Mức giảm giá so với ban đầu: $14-9{,}5=4{,}5$ triệu đồng.

Vậy công ty nên giảm giá $4{,}5$ triệu đồng (giá bán $9{,}5$ triệu đồng) thì doanh thu lớn nhất là $18\,050$ triệu đồng $=18{,}05$ tỉ đồng.

c) Đặt giá bán để lợi nhuận lớn nhất

Lợi nhuận mỗi tuần bằng doanh thu trừ chi phí:
$$P(x)=R(x)-C(x)=(19x-0{,}005x^2)-(12\,000-3x).$$
$$P(x)=-0{,}005x^2+22x-12\,000\quad(\text{triệu đồng}).$$

Đạo hàm: $P'(x)=-0{,}01x+22$.

$P'(x)=0\Leftrightarrow x=2\,200$. Vì $P'(x)>0$ khi $x<2\,200$ và $P'(x)<0$ khi $x>2\,200$ nên $P$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=2\,200$.

Giá bán tương ứng: $p=19-0{,}005\cdot2\,200=8$ triệu đồng.

Lợi nhuận lớn nhất: $P(2\,200)=-0{,}005\cdot2\,200^2+22\cdot2\,200-12\,000=12\,200$ (triệu đồng).

Vậy nhà sản xuất nên đặt giá bán $8$ triệu đồng một chiếc (bán được $2\,200$ chiếc/tuần) thì lợi nhuận lớn nhất là $12\,200$ triệu đồng $=12{,}2$ tỉ đồng.

Đáp số