Giải Bài 1.3 trang 14 SGK Toán 12

Lời giải

## a) $y = \dfrac{2x-1}{x+2}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

Tính đạo hàm:
$$y' = \frac{(2x-1)'(x+2) - (2x-1)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{2(x+2) - (2x-1)}{(x+2)^2} = \frac{2x+4-2x+1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}.$$

Vì $5 > 0$ và $(x+2)^2 > 0$ với mọi $x \ne -2$ nên $y' > 0$ với mọi $x \in D$.

Kết luận: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -2)$ và $(-2; +\infty)$.

## b) $y = \dfrac{x^2+x+4}{x-3}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.

Tính đạo hàm:
$$y' = \frac{(x^2+x+4)'(x-3) - (x^2+x+4)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{(2x+1)(x-3) - (x^2+x+4)}{(x-3)^2}.$$

Khai triển tử số:
$$(2x+1)(x-3) - (x^2+x+4) = (2x^2 - 5x - 3) - (x^2 + x + 4) = x^2 - 6x - 7.$$

Vậy $y' = \dfrac{x^2 - 6x - 7}{(x-3)^2}$.

Xét dấu $y'$: Vì $(x-3)^2 > 0$ với mọi $x \ne 3$ nên dấu của $y'$ cùng dấu với tử số $x^2 - 6x - 7$.

Giải $x^2 - 6x - 7 = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 7$.

| $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $3$ | | $7$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $\parallel$ | $-$ | $0$ | $+$ | |

- $y' > 0$ khi $x < -1$ hoặc $x > 7$;
- $y' < 0$ khi $-1 < x < 3$ hoặc $3 < x < 7$.

Kết luận: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -1)$ và $(7; +\infty)$; nghịch biến trên mỗi khoảng $(-1; 3)$ và $(3; 7)$.

Đáp số