Giải Bài 1.27 trang 42 SGK Toán 12

Lời giải

a) Tìm hàm chi phí biên.

Hàm chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí $C(x)$.

Ta có:
$$C'(x) = \left(23\,000 + 50x - 0{,}5x^2 + 0{,}00175x^3\right)'$$
$$C'(x) = 50 - x + 3 \cdot 0{,}00175x^2 = 50 - x + 0{,}00525x^2.$$

Vậy hàm chi phí biên là $C'(x) = 0{,}00525x^2 - x + 50$ (trăm nghìn đồng).

b) Tìm $C'(100)$ và giải thích ý nghĩa.

Thay $x = 100$ vào hàm chi phí biên:
$$C'(100) = 0{,}00525 \cdot 100^2 - 100 + 50 = 0{,}00525 \cdot 10\,000 - 100 + 50$$
$$C'(100) = 52{,}5 - 100 + 50 = 2{,}5 \ (\text{trăm nghìn đồng}).$$

Ý nghĩa: Khi đã sản xuất $100$ đơn vị hàng hoá, chi phí biên $C'(100) = 2{,}5$ trăm nghìn đồng cho biết chi phí (xấp xỉ) để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo (đơn vị thứ $101$) là khoảng $2{,}5$ trăm nghìn đồng ($= 250\,000$ đồng).

c) So sánh $C'(100)$ với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 101.

Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ $101$ chính là phần chi phí tăng thêm khi sản lượng tăng từ $100$ lên $101$ đơn vị, tức là $C(101) - C(100)$.

Tính $C(100)$:
$$C(100) = 23\,000 + 50 \cdot 100 - 0{,}5 \cdot 100^2 + 0{,}00175 \cdot 100^3$$
$$= 23\,000 + 5\,000 - 5\,000 + 1\,750 = 24\,750.$$

Tính $C(101)$:
$$C(101) = 23\,000 + 50 \cdot 101 - 0{,}5 \cdot 101^2 + 0{,}00175 \cdot 101^3$$
$$= 23\,000 + 5\,050 - 0{,}5 \cdot 10\,201 + 0{,}00175 \cdot 1\,030\,301$$
$$= 23\,000 + 5\,050 - 5\,100{,}5 + 1\,803{,}02675 = 24\,752{,}52675.$$

Do đó chi phí sản xuất đơn vị thứ $101$ là:
$$C(101) - C(100) = 24\,752{,}52675 - 24\,750 = 2{,}52675 \approx 2{,}53 \ (\text{trăm nghìn đồng}).$$

So sánh: Ta thấy $C'(100) = 2{,}5$ trăm nghìn đồng rất gần với chi phí thực tế để sản xuất đơn vị thứ $101$ là $C(101) - C(100) \approx 2{,}53$ trăm nghìn đồng. Điều này minh hoạ ý nghĩa của chi phí biên: $C'(100)$ là giá trị xấp xỉ tốt cho chi phí sản xuất thêm đơn vị hàng hoá tiếp theo.

Đáp số