Giải Bài 1.28 trang 42 SGK Toán 12

Lời giải

Gọi ẩn và lập hàm doanh thu

Gọi $x$ là số lần tăng giá thuê thêm $100$ nghìn đồng $= 0{,}1$ triệu đồng (với $x \ge 0$).

- Giá thuê mỗi căn hộ khi đó là: $8 + 0{,}1x$ (triệu đồng).
- Mỗi lần tăng giá thì có thêm $1$ căn bị bỏ trống, nên số căn hộ cho thuê được là: $100 - x$ (căn), với điều kiện $0 \le x \le 100$.

Doanh thu mỗi tháng (triệu đồng) là:
$$R(x) = (8 + 0{,}1x)(100 - x)$$
$$R(x) = 800 - 8x + 10x - 0{,}1x^2 = -0{,}1x^2 + 2x + 800, \quad x \in [0; 100].$$

Tìm giá trị lớn nhất của doanh thu

Đạo hàm: $R'(x) = -0{,}2x + 2.$

Cho $R'(x) = 0 \Leftrightarrow -0{,}2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 10.$

Lập bảng biến thiên trên $[0; 100]$: $R'(x) > 0$ khi $x < 10$ và $R'(x) < 0$ khi $x > 10$, nên $R(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 10$.

Khi $x = 10$:
$$R(10) = -0{,}1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 800 = -10 + 20 + 800 = 810 \text{ (triệu đồng)}.$$

Kết luận

Giá thuê mỗi căn hộ để doanh thu lớn nhất là:
$$8 + 0{,}1 \cdot 10 = 9 \text{ (triệu đồng)}.$$

Khi đó số căn cho thuê là $100 - 10 = 90$ căn, doanh thu lớn nhất là $9 \times 90 = 810$ triệu đồng.

Kiểm tra lại: Giá $9$ triệu, cho thuê $90$ căn $\Rightarrow 9 \times 90 = 810$ triệu đồng. Thử giá $8{,}9$ triệu (89 lần... thực ra $x=9$): $8{,}9 \times 91 = 809{,}9$ triệu $< 810$; thử $x=11$: $9{,}1 \times 89 = 809{,}9$ triệu $< 810$. Vậy $x = 10$ cho doanh thu lớn nhất — đáp số đúng.

Đáp số