Giải Bài 1.4 trang 14 SGK Toán 12

Lời giải

a) y = √(4 − x²). Tập xác định: 4 − x² ≥ 0 ⇔ D = [−2; 2]. Đạo hàm: y' = −2x/(2√(4 − x²)) = −x/√(4 − x²) với x ∈ (−2; 2). Vì √(4 − x²) > 0 nên y' cùng dấu với −x: y' > 0 khi x ∈ (−2; 0), y' < 0 khi x ∈ (0; 2), y' = 0 tại x = 0. Kết luận: hàm số đồng biến trên (−2; 0), nghịch biến trên (0; 2). Kiểm chứng: y(−2) = 0, y(0) = 2, y(2) = 0 — phù hợp bảng biến thiên (nửa đường tròn trên bán kính 2).

b) y = x/(x² + 1). Tập xác định D = ℝ (vì x² + 1 > 0). Đạo hàm: y' = [(x² + 1) − x·2x]/(x² + 1)² = (1 − x²)/(x² + 1)². Vì (x² + 1)² > 0 nên y' cùng dấu với 1 − x²: y' > 0 khi −1 < x < 1; y' < 0 khi x < −1 hoặc x > 1; y' = 0 tại x = ±1. Kiểm chứng: y(−1) = −1/2, y(1) = 1/2, lim y = 0 khi x → ±∞ — khớp bảng biến thiên. Kết luận: hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (1; +∞), đồng biến trên (−1; 1).

Đáp số