Giải Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại lý thuyết: Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$.

Để xác định hàm số nào là nguyên hàm của $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ trên $(0;+\infty)$, ta tính đạo hàm của từng hàm số rồi so sánh với $f(x)$.

Xét $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\ln x$:

Trên khoảng $(0;+\infty)$ ta có:
$$F'(x)=\left(\dfrac{1}{2}x^2\right)'+(\ln x)'=\dfrac{1}{2}\cdot 2x+\dfrac{1}{x}=x+\dfrac{1}{x}=f(x).$$

Vì $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in(0;+\infty)$ nên $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\ln x$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(0;+\infty)$.

Xét $G(x)=\dfrac{x^2}{2}-\ln x$:

Trên khoảng $(0;+\infty)$ ta có:
$$G'(x)=\left(\dfrac{x^2}{2}\right)'-(\ln x)'=x-\dfrac{1}{x}.$$

Vì $G'(x)=x-\dfrac{1}{x}\neq x+\dfrac{1}{x}=f(x)$ nên $G(x)=\dfrac{x^2}{2}-\ln x$ không phải là nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(0;+\infty)$.

Kết luận: Hàm số $F(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\ln x$ là một nguyên hàm của $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty)$.

Đáp số