Giải Hoạt động 2 trang 6 SGK Toán 12

Lời giải

a) Chứng minh $F(x)=\dfrac{x^4}{4}$ là một nguyên hàm của $f(x)=x^3$ trên $\mathbb{R}$.

Hàm số $F(x)=\dfrac{x^4}{4}$ xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có:
$$F'(x)=\left(\dfrac{x^4}{4}\right)'=\dfrac{1}{4}\cdot 4x^3=x^3=f(x),\quad \forall x\in\mathbb{R}.$$
Vì $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên theo định nghĩa, $F(x)=\dfrac{x^4}{4}$ là một nguyên hàm của $f(x)=x^3$ trên $\mathbb{R}$ (đpcm).

b) Hàm số $G(x)=\dfrac{x^4}{4}+C$ (với $C$ là hằng số) có là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ không?

Hàm số $G(x)=\dfrac{x^4}{4}+C$ xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có:
$$G'(x)=\left(\dfrac{x^4}{4}+C\right)'=\left(\dfrac{x^4}{4}\right)'+(C)'=x^3+0=x^3=f(x),\quad \forall x\in\mathbb{R},$$
(vì đạo hàm của hằng số $C$ bằng $0$).

Vì $G'(x)=f(x)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên $G(x)=\dfrac{x^4}{4}+C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)=x^3$ trên $\mathbb{R}$, với mọi giá trị của hằng số $C$.

Đáp số