Giải Bài 1.6 trang 15 SGK Toán 12

Lời giải

a) Các khoảng đồng biến của $f(x)$

Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng mà $f'(x) > 0$, tức là những khoảng mà đồ thị $y = f'(x)$ nằm phía trên trục hoành.

Quan sát Hình 1.13, đồ thị $y = f'(x)$ nằm trên trục hoành khi:
- $x < 0$ (khoảng $(-\infty; 0)$),
- $2 < x < 4$ (khoảng $(2; 4)$),
- $x > 6$ (khoảng $(6; +\infty)$).

Vậy hàm số $f(x)$ đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 0)$, $(2; 4)$ và $(6; +\infty)$.

(Trên các khoảng $(0; 2)$ và $(4; 6)$ thì $f'(x) < 0$ nên $f(x)$ nghịch biến.)

b) Điểm cực đại, cực tiểu của $f(x)$

Ta dùng dấu hiệu: $x_0$ là điểm cực trị nếu $f'(x)$ đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$. Cụ thể:
- Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ thì $x_0$ là điểm cực đại.
- Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.

Đồ thị $y = f'(x)$ cắt trục hoành tại $x = 0,\ 2,\ 4,\ 6$. Xét dấu qua từng điểm:

| Khoảng | $(-\infty;0)$ | $(0;2)$ | $(2;4)$ | $(4;6)$ | $(6;+\infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Dấu $f'(x)$ | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ |

- Qua $x = 0$: $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ $\Rightarrow$ $x = 0$ là điểm cực đại.
- Qua $x = 2$: $f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ $\Rightarrow$ $x = 2$ là điểm cực tiểu.
- Qua $x = 4$: $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ $\Rightarrow$ $x = 4$ là điểm cực đại.
- Qua $x = 6$: $f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ $\Rightarrow$ $x = 6$ là điểm cực tiểu.

Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và $x = 4$; đạt cực tiểu tại $x = 2$ và $x = 6$.

Đáp số