Giải Bài 1.8 trang 15 SGK Toán 12
Đề bài
Cho hàm số $y = f(x) = |x|$.
a) Tính các giới hạn $\lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ và $\lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0}$. Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.
b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x = 0$ (xem Hình 1.4).
Lời giải
a) Ta có f(0)=|0|=0. Với x>0 thì |x|=x nên lim_{x→0⁺} (f(x)−f(0))/(x−0) = lim_{x→0⁺} x/x = 1. Với x<0 thì |x|=−x nên lim_{x→0⁻} (f(x)−f(0))/(x−0) = lim_{x→0⁻} (−x)/x = −1. Vì giới hạn bên phải (=1) khác giới hạn bên trái (=−1) nên không tồn tại lim_{x→0} (f(x)−f(0))/(x−0), do đó f không có đạo hàm tại x=0.
b) Theo định nghĩa, x₀=0 là điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa 0 sao cho f(x)>f(0) với mọi x∈(a;b), x≠0. Chọn khoảng (−1;1) chứa 0. Với mọi x≠0 ta có f(x)=|x|>0=f(0) (vì giá trị tuyệt đối luôn không âm và chỉ bằng 0 khi x=0). Vậy f đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu f(0)=0 (đpcm).
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.