Giải Bài 1.40 trang 44 SGK Toán 12

Lời giải

## a) $y=x^3-3x^2+3x-1$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có $y'=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\ge 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$; dấu bằng chỉ xảy ra tại $x=1$.

Vì $y'\ge 0$ với mọi $x$ và $y'=0$ chỉ tại một điểm nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Do $y'$ không đổi dấu khi qua $x=1$ nên hàm số không có cực trị.

## b) $y=x^4-2x^2-1$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có $y'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$; $\quad y'=0\Leftrightarrow x=-1,\ x=0,\ x=1$.

Bảng biến thiên:

| $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $0$ | | $1$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $y$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $-1$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$; đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=y(\pm 1)=-2$; đạt cực đại tại $x=0$, giá trị cực đại $y_{CĐ}=y(0)=-1$.

## c) $y=\dfrac{2x-1}{3x+1}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{1}{3}\right\}$.

Ta có
$$y'=\dfrac{2(3x+1)-3(2x-1)}{(3x+1)^2}=\dfrac{5}{(3x+1)^2}>0 \text{ với mọi } x\ne -\dfrac{1}{3}.$$

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty;-\dfrac{1}{3}\right)$ và $\left(-\dfrac{1}{3};+\infty\right)$; hàm số không có cực trị.

## d) $y=\dfrac{x^2+2x+2}{x+1}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

Ta có
$$y'=\dfrac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+2)}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2};$$
$$y'=0\Leftrightarrow x=-2 \text{ hoặc } x=0.$$

Bảng biến thiên (chú ý $x=-1\notin D$):

| $x$ | $-\infty$ | | $-2$ | | $-1$ | | $0$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $\parallel$ | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $y$ | | $\nearrow$ | $-2$ | $\searrow$ | $\parallel$ | $\searrow$ | $2$ | $\nearrow$ | |

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(0;+\infty)$; nghịch biến trên các khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$, giá trị cực đại $y_{CĐ}=y(-2)=\dfrac{4-4+2}{-2+1}=-2$; đạt cực tiểu tại $x=0$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=y(0)=\dfrac{2}{1}=2$.

Đáp số