Giải Bài 1.41 trang 45 SGK Toán 12

Lời giải

## a) $y = \dfrac{2x+1}{3x-2}$ trên nửa khoảng $[2;+\infty)$

Xét tính đơn điệu: Với $x \in [2;+\infty)$ ta có $3x-2 \neq 0$. Đạo hàm:
$$y' = \frac{(2x+1)'(3x-2) - (2x+1)(3x-2)'}{(3x-2)^2} = \frac{2(3x-2) - 3(2x+1)}{(3x-2)^2} = \frac{6x-4-6x-3}{(3x-2)^2} = \frac{-7}{(3x-2)^2}.$$

Vì $(3x-2)^2 > 0$ nên $y' < 0$ với mọi $x \in [2;+\infty)$. Do đó hàm số nghịch biến trên $[2;+\infty)$.

Bảng biến thiên:

| $x$ | $2$ | | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $y'$ | | $-$ | |
| $y$ | $\dfrac{5}{4}$ | $\searrow$ | $\dfrac{2}{3}$ |

Tại $x = 2$: $\;y = \dfrac{2\cdot 2 + 1}{3\cdot 2 - 2} = \dfrac{5}{4}.$

Khi $x \to +\infty$: $\;y = \dfrac{2x+1}{3x-2} \to \dfrac{2}{3}$ (nhưng không đạt được).

Vì hàm số nghịch biến trên $[2;+\infty)$ nên:
- Giá trị lớn nhất đạt được tại đầu mút $x = 2$:
$$\max_{[2;+\infty)} y = y(2) = \frac{5}{4} = 1{,}25.$$
- Hàm số giảm dần về $\dfrac{2}{3}$ nhưng không đạt giá trị này, nên không có giá trị nhỏ nhất trên $[2;+\infty)$.

## b) $y = \sqrt{2-x^2}$

Tập xác định: Điều kiện $2 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$. Vậy $D = [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.

Đạo hàm: Với $x \in (-\sqrt{2};\sqrt{2})$:
$$y' = \frac{(2-x^2)'}{2\sqrt{2-x^2}} = \frac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}.$$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Ta thấy $y' > 0$ khi $x < 0$ và $y' < 0$ khi $x > 0$.

Bảng biến thiên:

| $x$ | $-\sqrt{2}$ | | $0$ | | $\sqrt{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y'$ | | $+$ | $0$ | $-$ | |
| $y$ | $0$ | $\nearrow$ | $\sqrt{2}$ | $\searrow$ | $0$ |

Tính các giá trị:
- Tại $x = 0$: $\;y = \sqrt{2 - 0} = \sqrt{2}.$
- Tại $x = \pm\sqrt{2}$: $\;y = \sqrt{2 - 2} = 0.$

Vậy:
$$\max_{D} y = y(0) = \sqrt{2} \approx 1{,}41; \qquad \min_{D} y = y(\pm\sqrt{2}) = 0.$$

Đáp số