Giải Bài 5.29 trang 60 SGK Toán 12

Lời giải

Nhắc lại: Phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^2+b^2+c^2-d>0$. Khi đó mặt cầu có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.

a) $x^2+y^2+z^2-2x-5z+30=0$.

Đồng nhất: $a=1,\ b=0,\ c=\dfrac{5}{2},\ d=30$.

Xét $a^2+b^2+c^2-d=1^2+0^2+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-30=1+\dfrac{25}{4}-30=-\dfrac{91}{4}<0$.

Vậy phương trình a) không phải là phương trình mặt cầu.

b) $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z=0$.

Đồng nhất: $a=2,\ b=-1,\ c=1,\ d=0$.

Xét $a^2+b^2+c^2-d=2^2+(-1)^2+1^2-0=4+1+1=6>0$.

Vậy phương trình b) là phương trình mặt cầu, có tâm $I(2;-1;1)$ và bán kính $R=\sqrt{6}$.

c) $x^3+y^3+z^3-2x+6y-9z-10=0$.

Các biến $x,y,z$ có bậc $3$ (chứa $x^3,y^3,z^3$) nên đây không có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Do đó phương trình c) không phải là phương trình mặt cầu.

d) $x^2+y^2+z^2+5=0$.

Đồng nhất: $a=0,\ b=0,\ c=0,\ d=5$.

Xét $a^2+b^2+c^2-d=0+0+0-5=-5<0$.

Vậy phương trình d) không phải là phương trình mặt cầu.

Kết luận: Chỉ có phương trình b) là phương trình mặt cầu, với tâm $I(2;-1;1)$ và bán kính $R=\sqrt{6}$.

Đáp số