Giải Bài 5.40 trang 63 SGK Toán 12

Lời giải

a) Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$.

Ta có hai vectơ:
$$\vec{AB} = (-1;1;3), \quad \vec{AC} = (-2;-2;4).$$

Mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là:
$$\vec{n} = \left[\vec{AB}, \vec{AC}\right] = \big(1\cdot4 - 3\cdot(-2);\ 3\cdot(-2) - (-1)\cdot4;\ (-1)\cdot(-2) - 1\cdot(-2)\big) = (10; -2; 4).$$

Chọn $\vec{n} = (5; -1; 2)$ (chia cho $2$). Mặt phẳng đi qua $A(1;0;-1)$:
$$5(x-1) - 1(y-0) + 2(z+1) = 0 \iff 5x - y + 2z - 3 = 0.$$

*Kiểm tra:* $B$: $0-1+4-3=0$ ✓; $C$: $-5+2+6-3=0$ ✓.

b) Viết phương trình đường thẳng $AC$.

Đường thẳng $AC$ đi qua $A(1;0;-1)$ và nhận $\vec{AC}=(-2;-2;4)$ làm vectơ chỉ phương. Chọn vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;-2)$.

Phương trình tham số:
$$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = -1 - 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).$$

c) Viết phương trình mặt cầu đường kính $AC$.

Tâm $I$ là trung điểm của $AC$:
$$I = \left(\frac{1+(-1)}{2}; \frac{0+(-2)}{2}; \frac{-1+3}{2}\right) = (0; -1; 1).$$

Bán kính $R = \dfrac{AC}{2}$. Ta có $AC = \sqrt{(-2)^2+(-2)^2+4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt6$, nên $R = \sqrt6$, suy ra $R^2 = 6$.

Phương trình mặt cầu:
$$x^2 + (y+1)^2 + (z-1)^2 = 6.$$

d) Viết phương trình mặt cầu tâm $A$ và đi qua $B$.

Bán kính $R = AB = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{11}$, nên $R^2 = 11$.

Mặt cầu tâm $A(1;0;-1)$:
$$(x-1)^2 + y^2 + (z+1)^2 = 11.$$

Đáp số