Giải Bài 5.42 trang 63 SGK Toán 12

Lời giải

a) Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$

Mặt phẳng $(P): x-2y+2z-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P=(1;-2;2)$.

Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $A(1;-1;2)$ đến $(P)$:
$$d(A,(P))=\dfrac{|1\cdot 1-2\cdot(-1)+2\cdot 2-1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\dfrac{|1+2+4-1|}{\sqrt{9}}=\dfrac{6}{3}=2.$$

Vậy $d(A,(P))=2$.

b) Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A$ và song song với $(P)$

Vì $(Q)\parallel(P)$ nên $(Q)$ nhận $\vec{n}_P=(1;-2;2)$ làm vectơ pháp tuyến.

$(Q)$ đi qua $A(1;-1;2)$ nên có phương trình:
$$1(x-1)-2(y+1)+2(z-2)=0$$
$$\Leftrightarrow x-2y+2z-7=0.$$

(Hệ số tự do $-7\neq -1$ nên $(Q)$ khác $(P)$, thỏa mãn điều kiện song song.)

Vậy $(Q): x-2y+2z-7=0$.

c) Mặt phẳng $(R)$ chứa $A$, $B$ và vuông góc với $(P)$

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1-1;1-(-1);0-2)=(-2;2;-2)$.

Mặt phẳng $(R)$ chứa hai điểm $A$, $B$ nên chứa giá của $\overrightarrow{AB}$; đồng thời $(R)\perp(P)$ nên $\vec{n}_P$ có giá song song hoặc nằm trong $(R)$. Do đó vectơ pháp tuyến của $(R)$ vuông góc với cả $\overrightarrow{AB}$ và $\vec{n}_P$:
$$\vec{n}_R=\left[\overrightarrow{AB},\vec{n}_P\right].$$

Tính tích có hướng với $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-2)$, $\vec{n}_P=(1;-2;2)$:
$$\vec{n}_R=\Big(2\cdot 2-(-2)(-2);\ (-2)\cdot 1-(-2)\cdot 2;\ (-2)(-2)-2\cdot 1\Big)=(0;2;2).$$

Chọn $\vec{n}_R=(0;1;1)$. Mặt phẳng $(R)$ đi qua $A(1;-1;2)$:
$$0(x-1)+1(y+1)+1(z-2)=0\Leftrightarrow y+z-1=0.$$

Kiểm tra: $B(-1;1;0)$: $1+0-1=0$ (đúng); $\vec{n}_R\cdot\vec{n}_P=0\cdot1+1\cdot(-2)+1\cdot2=0$ nên $(R)\perp(P)$ (đúng).

Vậy $(R): y+z-1=0$.

Đáp số