Giải Bài 5.45 trang 64 SGK Toán 12

Lời giải

Xác định yếu tố của hai đường thẳng

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(-1; 1; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 2; -1)$.

Đường thẳng $d'$ có vectơ chỉ phương $\vec{u'} = (1; 1; 2)$.

Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$

Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ nên $(P)$ nhận $\vec{u}$ làm vectơ chỉ phương; $(P)$ song song với $d'$ nên $(P)$ cũng nhận $\vec{u'}$ làm vectơ chỉ phương. Do đó một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là:

$$\vec{n} = [\vec{u}, \vec{u'}] = \left( \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \right)$$

$$\vec{n} = \big(\,2\cdot 2 - (-1)\cdot 1\,;\; (-1)\cdot 1 - 1\cdot 2\,;\; 1\cdot 1 - 2\cdot 1\,\big) = (5; -3; -1).$$

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(-1; 1; 0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (5; -3; -1)$:

$$5(x+1) - 3(y-1) - 1(z-0) = 0$$
$$5x + 5 - 3y + 3 - z = 0$$
$$5x - 3y - z + 8 = 0.$$

Kiểm tra lại

- $\vec{u}\cdot\vec{n} = 1\cdot 5 + 2\cdot(-3) + (-1)\cdot(-1) = 5 - 6 + 1 = 0$ và $A\in(P)$ nên $(P)$ chứa $d$. ✓
- $\vec{u'}\cdot\vec{n} = 1\cdot 5 + 1\cdot(-3) + 2\cdot(-1) = 5 - 3 - 2 = 0$ nên $d'$ song song hoặc nằm trong $(P)$.
- Thay điểm $B(1; 2; -1)\in d'$ vào $(P)$: $5\cdot 1 - 3\cdot 2 - (-1) + 8 = 5 - 6 + 1 + 8 = 8 \neq 0$, nên $B\notin(P)$, tức $d'$ song song với $(P)$. ✓

Vậy mặt phẳng cần tìm là $(P): 5x - 3y - z + 8 = 0$.

Đáp số