Giải Bài 5.48 trang 64 SGK Toán 12

Lời giải

Phân tích. Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; -2; 1)$. Mặt phẳng $(P): x + y - 2z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 1; -2)$.

Áp dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi $d$ và $(P)$ $(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ)$, ta có:
$$\sin\alpha = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{n}|}.$$

Tính tích vô hướng và độ dài.
$$\vec{u}\cdot\vec{n} = 2\cdot 1 + (-2)\cdot 1 + 1\cdot(-2) = 2 - 2 - 2 = -2.$$
$$|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3.$$
$$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}.$$

Thay vào.
$$\sin\alpha = \dfrac{|-2|}{3\cdot\sqrt{6}} = \dfrac{2}{3\sqrt{6}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{18} = \dfrac{\sqrt{6}}{9}.$$

Kết luận. $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{6}}{9} \approx 0{,}2722$, suy ra $\alpha \approx 15^\circ 48'$.

Kiểm tra lại. $\dfrac{\sqrt{6}}{9}\approx \dfrac{2{,}449}{9}\approx 0{,}272 \in [0;1]$ nên hợp lý; $\arcsin(0{,}272)\approx 15{,}8^\circ$. Đáp số thống nhất.

Đáp số