Giải Bài 5.49 trang 64 SGK Toán 12

Lời giải

Bước 1. Xác định vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.

Mặt phẳng $(P): x + y + z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến
$$\vec{n_1} = (1;\,1;\,1).$$

Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z = 0$ nên có vectơ pháp tuyến
$$\vec{n_2} = (0;\,0;\,1).$$

Bước 2. Áp dụng công thức góc giữa hai mặt phẳng.

Gọi $\varphi$ là góc giữa $(P)$ và $(Oxy)$. Theo công thức trong SGK:
$$\cos\varphi = \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\,|\vec{n_2}|}.$$

Ta có:
$$\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = 1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1,$$
$$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3},\qquad |\vec{n_2}| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1.$$

Do đó:
$$\cos\varphi = \frac{|1|}{\sqrt{3}\cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577.$$

Bước 3. Kết luận.
$$\varphi = \arccos\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 54^{\circ}44'.$$

Kiểm tra: $\cos 54^{\circ}44' \approx 0{,}577 = \dfrac{1}{\sqrt3}$ — phù hợp. Vậy góc giữa $(P)$ và $(Oxy)$ xấp xỉ $54^{\circ}44'$ (tức $\approx 54{,}74^{\circ}$).

Đáp số