Giải Bài 5.50 trang 64 SGK Toán 12

Lời giải

Thiết lập mô hình. Mặt nước là một mặt phẳng nằm ngang. Ba vị trí thả dây trên mặt nước đôi một cách nhau $2$ m nên là ba đỉnh của một tam giác đều cạnh $2$ m. Dây dọi luôn thẳng đứng (vuông góc mặt nước), nên mỗi đoạn dây trong nước là đoạn thẳng đứng nối một đỉnh trên mặt nước với điểm chạm đáy ngay bên dưới.

a) Chọn hệ tọa độ $Oxyz$. Lấy mặt nước làm mặt phẳng $Oxy$ ($z=0$), trục $Oz$ hướng xuống bằng cách cho đáy ở phía $z<0$. Đặt ba vị trí trên mặt nước (tam giác đều cạnh $2$):
$$A(0;0;0),\quad B(2;0;0),\quad C(1;\sqrt3;0).$$
Vì $AB=BC=CA=2$ nên cách đặt này đúng.

Các điểm chạm đáy nằm thẳng đứng bên dưới, cách mặt nước lần lượt $4$ m; $4{,}4$ m; $4{,}8$ m:
$$A'(0;0;-4),\quad B'(2;0;-4{,}4),\quad C'(1;\sqrt3;-4{,}8).$$

b) Tìm vectơ pháp tuyến của mặt đáy $(A'B'C')$. Ta có
$$\vec{A'B'}=(2;\,0;\,-0{,}4),\qquad \vec{A'C'}=(1;\,\sqrt3;\,-0{,}8).$$
Vectơ pháp tuyến:
$$\vec n=\vec{A'B'}\wedge\vec{A'C'}=\big(0{,}4\sqrt3;\;1{,}2;\;2\sqrt3\big).$$

c) Tính góc giữa mặt đáy và mặt phẳng nằm ngang. Mặt phẳng nằm ngang $(Oxy)$ có pháp tuyến $\vec k=(0;0;1)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng, khi đó
$$\cos\alpha=\frac{|\vec n\cdot \vec k|}{|\vec n|\,|\vec k|}=\frac{2\sqrt3}{\sqrt{(0{,}4\sqrt3)^2+1{,}2^2+(2\sqrt3)^2}}=\frac{2\sqrt3}{\sqrt{0{,}48+1{,}44+12}}=\frac{2\sqrt3}{\sqrt{13{,}92}}.$$
$$\cos\alpha=\frac{3{,}4641}{3{,}7310}\approx 0{,}9285\;\Rightarrow\; \alpha\approx 21{,}8^\circ.$$

Kiểm tra lại. Độ sâu đáy là hàm bậc nhất theo tọa độ: $d(x;y)=4+0{,}2x+0{,}2\sqrt3\,y$ (thử lại: $d_A=4$, $d_B=4{,}4$, $d_C=4+0{,}2+0{,}2\sqrt3\cdot\sqrt3=4{,}8$ — khớp). Độ dốc của đáy bằng độ lớn gradient $\sqrt{0{,}2^2+(0{,}2\sqrt3)^2}=\sqrt{0{,}16}=0{,}4$, nên $\tan\alpha=0{,}4\Rightarrow\alpha=\arctan 0{,}4\approx 21{,}8^\circ$ — trùng kết quả trên.

Kết luận. Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc khoảng $21{,}8^\circ$.

Đáp số